欢迎收听跨国串门计划，这是一档专注于让中文听众无障碍欣赏全球优质外语播客的节目。通过先进的 AI 声纹克隆技术，我们不仅将内容翻译成中文，还完美保留了原主持人和嘉宾的独特声音，为您呈现全球顶尖的 AI 财经、健康与科技领域精品内容。我是主播一凯，一位热衷于 AI 领域的产品经理，很荣幸能为您搭建这座跨越语言障碍的桥梁。
接下来，让我为您简单介绍本期我们克隆的这档节目。本期我们克隆的是知名播客 Dawkish Podcast 在 2026 年的一期深度对谈，主持人 Dawkish Patel 与嘉宾 Grant Sanderson 展开了一场关于数学未来的精彩讨论。Grant Sanderson是广受欢迎的数学科普频道三Blue一Brown的创始人，他正在制作一个记录人工智能在数学领域进展的新项目。
这期节目，他们主要探讨了人工智能在数学前沿的突破速度，以及这些进展对我们理解创造力、科学发现和未来工作意味着什么。那我们就一起来听听这期的完整对话。今天和我聊天的是Grant
Sanderson，他运营着三Blue1Brown，现在正在做一个新项目，记录AI在数学领域的进展。我想跟你聊这个。是因为AI在数学上的进步速度比任何其他领域都快，所以这里正在发生的事儿，以及我们看到的AI进展或瓶颈，会告诉我们，随着AI越来越强，世界其他地方会发生什么。
我想先从一个问题开始。三年前我第一次采访你时，就问过你。我当时问：一旦我们有了能在国际数学奥林匹克竞赛里拿金牌的AI，那不就是AGI了吗？考虑到这些题目的难度，它岂不是就能做任何人类能做的事儿了？你当时的回答，现在回头看非常明智，而且是对的。你说那会变成另一个基准测试，就像我们正在通过的所有其他基准测试一样。
显然，从那时起，AI在通用能力上变强了。但这件事发生时，不会有什么顿悟时刻。首先，我很好奇你为什么能预见到这一点。其次，我好奇，你觉得这种局限性还能持续多久？到AI解决了千禧年大奖难题的时候，你觉得还有可能有很多人类在做的工作是AI仍然无法在经济中自动化的吗？这个问题很有意思，因为如果不知道解决方案长什么样，就很难提前回答。
拿MO来说，我觉得你三年前那个问题的核心在于，看这些题目的解法时，他们似乎真的需要创造力，出题人也会尽量设计一些你没法轻易训练出来的东西。我觉得伊某的一个不能说的秘密是，很多题目其实是可以训练的，所以就像你指出的。整个AI与数学项目之所以有意思，原因之一就是AI有一个尖峰前沿，数学正好就在其中一个尖峰上。
但这种尖峰性本身又有点分形的味道。因为当你放大看数学内部的具体进展时，有些事儿比其他事儿容易得多。我们就看 IMO，这在现在已经算旧闻了，对吧？大概两年前他们就做得相当好了。要不是下面这个原因，他们 2024 年就能拿金牌了。他们非常强，基本上几何题是直接秒杀的。IMO 有四类题目：几何、数论、代数和组合。
几何题在二零二四年大概十九秒就解出来了，因为它用的是一种类似暴力求解的方法。而对学生来说，不能说的秘密是，也有一种类似暴力的方法去解。组合题则是个变数，题目往往更俏皮，更像谜题。那一年的考试有两道组合题，不总是这样。一共四个类别，六道题，所以哪一类会出两道题，有点碰运气。要是几何题再多些，他们那年就有金牌了。
但他在组合题上很挣扎。那些想守住人类数学最后阵地的人可能会说：“你看，那些才是更需要创造力的题目。”但即便如此，我觉得你问题的核心是：如果他们解决了千禧年大奖难题，是不是也意味着能胜任很多白领工作？这暗示着。从现在到那个节点之间的速率限制因素，和让AI更擅长白领工作的速率限制因素是一样的。我们也许可以描绘几种不同的路径。
比如，如果我们聚焦在黎曼猜想上，解决它会是什么样子？一种可能性是，这些东西在某个特定知识领域极其擅长，理解得非常深，然后也擅长另一个领域。在一个领域，你也指出过这一点：一个拥有超人类知识广度，对所有领域都了如指掌的东西，却没有发现那些连接它们的闪电式连接，这本身就很奇怪。我觉得我们开始看到一些火花了，他确实开始在自己擅长的领域之间找到联系了。
我相信我们待会儿会聊到，如果黎曼猜想的解法本质上是那样的，那在我看来，这和做好白领工作所需的能力是很不一样的。而且，其实有理由相信，那可能就是解法的本质。不知道你听没听过休·蒙哥马利和弗里曼·戴森在普林斯顿高等研究院的故事。稍微岔开一下，但这故事挺有意思的。大概是在午餐还是什么场合，有一位数论学家，他当时在试图理解黎曼非函数零点对之间的统计相关性。
黎曼猜想的核心就是，这些零点是不是全都在一条直线上？他当时在研究一个可以提出的定量问题。然后写出了一个公式，看起来像是一除以正弦平方之类的。物理学家弗里曼·戴森一看就说：“我认识这个表达式，这个表达式在研究随机厄米矩阵的特征值时会出现。”而这东西又是在研究原子核能级时用到的，这两件看似毫不相干的事儿，统计规律居然一样，这就引出了一个探索方向：随机矩阵理论里是不是有些东西跟黎曼非函数有关？
我觉得这到底能不能结出果实，目前还没有定论。但这种把两个不同领域连接起来的方式。如果黎曼猜想的最终解法恰好就是把这种思路再往前推一步，那就很符合你对大语言模型擅长数学的那种期待。他们既是量子物理的专家，又是解析数论的专家，应该能看出那种相似性。不需要像蒙哥马利和戴森那样，非得凑巧一起吃午饭，碰巧聊到那个话题才行。
但这跟白领工作完全是两码事儿，对吧？你可能会觉得很难用AI来当编辑，原因并不在于他什么都懂。只差你帮他找到那个闪电式的连接点。另一种可能性是，该怎么类比呢？也许可以想想费马大定理，从费马提出这个问题到最终解法呈现出来的样子，这中间的过程，最终的解法用到了数学里极其庞大的理论工具。这个问题的美妙之处就在于，它的表述可以非常简单。
你问的是x的n次方加y的n次方等于z的n次方，当n大于3时，有没有整数解？你可能会觉得应该有一种初等数论的方法来解决它，但就我们目前所知，就是没有。而实际的解法。也许存在更简单的，但这可能就是它必须有的样子。那是一套极其复杂的思想体系，建立在围绕椭圆曲线长达几个世纪的研究之上。然后还有另一座思想的大山，围绕着这些叫模型式的东西。
你得先把这两座大山都建起来，才能提出那个能把它们连接起来的正确问题。所以，如果黎曼猜想的解法需要建起一座新的大山，那这种能力，也就是提出正确新想法的能力，跟他们现在所展现的那种智能特质感觉是完全不同的。这跟你雇一个视频剪辑师所需要的能力并不是一回事儿。但是如果他真的有能力去构建理论的大山，也就是那种能结晶出我们该如何思考一个学科的正确新理论，那这种智能水平就太高了。
到那时候，如果这种能力没有渗透到数学理论构建之外的其他经济领域，反而会让人觉得奇怪了。或者至少说，就算它不能真的做到白领能做的每一件事儿，它也会带来变革性的影响。就像在IMO拿金牌并没有给世界带来变革性影响一样。首先，我得承认，我完全是在移动球门。因为两三年前我采访Darrell的时候，我问过这个问题：为什么他们不能用海量的知识把不同想法连接起来，从而做出新发现？
这种事儿看起来就是，哪怕一个智力中等的人知道这么多信息，也能做到。比如，从某种药会导致偏头痛，另一种东西有什么作用？推断出，也许同一种药能同时治这两种病，从而做出医学诊断。是啊，我也说不好。从外行的角度看，数学显然是一个能找到这种例子的领域，比如找到单位距离问题猜想的反例，就是这类事情。所以这完全是移动球门。
但我们可以接着问。好，下一个基准是什么？既然AI已经能做到这件我们早该想到他们能做到的事儿，那下一件会让人非常印象深刻的事儿是什么？这里有几个候选方向，一个是能首先提出有趣的问题，另一个是能提出新的对象或概念化方式，从而创建或统一某个领域。关于第一个方向，我们现在训练这些模型的方式是，我们有这些千禧年大奖难题，因为数学家们注意到，比如黎曼提出了黎曼非函数这个概念。
因为他认为它跟素数的密度有某种联系，或者说这个函数的零点跟素数有某种联系。那么，我们一开始为什么会认为这是个值得研究的东西？我们为什么要构建这个对象，试图回答关于它的问题，尤其是回答这个特定的问题？这看起来像是会成为下一个基准的那种事情。你举的这两个例子都挺好的。对单位距离猜想感兴趣的人，有一个叫Polylog的数学频道做了一个很不错的视频，讲这个这些讨论会让人们反思做数学的过程，对吧？
大家会想，这个东西能做这么厉害的事儿，这对我们意味着什么？他引用了这么一句话。好的数学家证明定理，伟大的数学家提出猜想，而最伟大的数学家创造定义。这基本上就是你刚才说的那两层。我们需要猜想生成器，然后是定义生成器，那是最高级别的数学家。我不太明白你怎么把它做成一个基准，因为通常我想到基准这个词的时候，想的是那种有明确球门的东西，球要么进了，要么没进，你可以清楚的说对这事儿做成了。
这一方面是为了能做RLVi这类事情，另一方面是为了能知道自己在回答问题时没有移动球门。OpenAI可以拿正伟单位距离猜想当标题，因为这是一个清晰明确的结果，就是做到了，对吧？但想象一下，你要拿什么当标题？对，GPT 5.4提出了一个非常好的猜想，对吧？我们保证。大家都觉得这是个好猜想，但听起来就是不一样。
不过，这也许并不否定这确实是我们应该思考的方向。所以，如果它真的以基准的形式出现，并且我们有一个分数说它通过了这个基准，因为我们可以量化一个猜想有多好，我会很惊讶。但更可能的情况是。你会感觉到数学家们在讨论跟他协作有多大用处时，语气发生了变化。你提到那个系列目前还没做出来，可能还要几个月。它的形式是我们采访很多数学家。
有意思的是，我们一年多前就开始做这件事儿了。看到他们在二零二五年年中到现在二零二六年之间谈论AI的语气发生了一点变化，挺有意思的。在现实世界里，这是很短的时间；在AI世界里，这就像过了好几个纪元，对吧？在这些纪元里，我们能看到这种语气的变化。我觉得衡量猜想生成能力的方式会更主观，就体现在这种语气变化上。
数学家们会说，他们不只是用它来解决问题，而是在退一步决定自己的研究方向应该是什么的时候，跟某个模型的对话确实对他们有帮助。我不太觉得你会看到那种形式的标题，说又一个基准被攻克了。对，所以这很有意思。那些你没法做成基准测试的东西，至少在现有范式下。也是你很难直接训练的东西，对吧？因为基准测试和训练环境之间其实没有本质区别。
我觉得很容易就会陷入一种二分法，说你看，哎，做不了这件事儿，深层原因是这个。然后过不了多久就发现，哦，只是你想的方式不对，哎，其实很快就能做到了。我接下来就要试着提几个，你反正还是会提几个的。我觉得这件事儿。很可能在相对线性的时间尺度上，我们也能找到训练AI去做这类事情的方法。但看起来它肯定跟现在的RLV二训练不一样。
我很好奇的一点，也是在我看来推动数学乃至整个科学取得重大进展的核心驱动力，是提出一种思考问题的新方式，或者一种理解世界的新方式。然后它能统一不同领域，催生全新的领域，解决那些我们一开始甚至没意识到需要解决的问题。比如爱因斯坦研究广义相对论，不是因为他想解释光为什么会弯曲，或者黑洞为什么会存在这些现象，他一开始甚至都不知道需要被解释。
但在数学里，从我这个完全外行的角度看，我连自己在说什么的细节都不太清楚。从外面看，似乎经常有这种情况：证明一个具体问题。有的能催生新的概念化方式，进而产生一个全新的领域、一套全新的思维方式，极其高产；有的则不能。我很好奇，想听你聊聊。比如伽罗瓦搞出了群论，他证明五次多项式没有根式解的方式，跟阿贝尔早几年给出的另一个证明就不一样。
阿贝尔那个证明并没有引出群论，但如果你要对群论是不是个有趣的概念做一个验证循环，就是问这里做成了什么有用的事儿吗？为什么这个证明更好？这个验证循环可能要一百年，它涉及后来密码学的出现、物理学的进展、群论的思想在其中发挥作用、理解物理学中的对称性等等，这本身就是一个长达一百年的验证循环。去验证这个概念到底为什么有生产力？
哇，嗯，你戳到我的点了。因为我二零二二年本来打算做一个关于伽罗瓦的项目，后来搁置了，但我花了大概一年的时间，大量思考他做的东西。所以我有可能一不小心在细节上讲太久，你得拉住我。这确实是个完美的例子，因为要描述为什么那是一个有价值的洞见，并不来自即时效用。所以，如果你在考虑 RLVR 环境，那肯定就是好吧。
这真的很难做，但有意思的是，即使是当时的人类验证者，也花了非常长的时间才认识到它的价值。我觉得爱因斯坦的广义相对论，人们多少能感觉到，你能感觉到这理论一出来就让人觉得是个好理论。而让伽罗瓦理论成为如此有趣的例子的地方在于，你确实有着整整一百年的时间，一个想法流经许多不同人的头脑。最后才沉淀成数学界公认的好东西。
所以稍微往回退一点，你需要我讲一下这个问题的背景吗？嗯，我们在学校都学过二次方程求根公式。我还以为你要说我们在学校都学过群论，我们都学过，我们都学过群论，二次方程求根公式。嗯。这个公式在某种意义上很早就知道了，比如古希腊人就能解二次方程，但他们不太用代数来写。所以真正写下那个公式的其实是阿拉伯人。还有一个很有趣的故事，关于几个意大利数学家互相决斗，不是真的决斗。
就是那种智力挑战，他们有人偷偷找到了三次方程的求根公式，然后没过多久又找到了四次多项式的公式。所以对当时的数学家来说，一个自然的开放问题就是：你能找到解五次方程的公式吗？那个四次的公式已经非常庞大了，写出来会很夸张。通常你不会完整写出来，而是拆成一个过程性的步骤。所以你可能会觉得这些东西的复杂度是指数级增长的。
于是好几百年里，没有人真正回答这个问题。通常我们说阿贝尔是第一个证明他的人。他是个年轻的早慧的挪威数学家，他证明了这根本不可能。不是说你能找到一个五次公式，他一度以为自己找到了，但他证明了这是不可能的。不过我觉得真正的功劳，你得往回退一点，谈谈拉格朗日。拉格朗日找到了关于这个问题的正确提问方式。我可以展开讲细节，但先给一个非常高层的概括。
他在研究这个问题时，认识到能不能解这些多项式，其实跟理解某些代数表达式的对称性非常相关，就是对称性多还是少的问题。比如我写下 a 加 b 加 c 加 d，只是四个变量相加。如果我把它们重新排列，表达式的值不会变。但如果写 a 加 b 乘以 c 加 d，有些排列不会改变它，但有些会。它有一个非常非常棒的洞察：如果你能找到像这样的表达式，有四个自由变量。
但所有排列只产生三个不同的值，这跟把四次方程降次到三次方程之间有一种意想不到的关系。于是他开始研究我们能不能找到五次多项式的公式这个问题。他的思路是：我想知道我能不能把这个方法推广。要推广这个方法，你就得找到一个有五个自由变量的表达式，使得当你用所有五的阶乘种排列去变换它时。它只取四个或更少的值，这简直可以放进谜题书里，可以变成一个十二岁孩子都能玩的脑筋急转弯。
而且你很容易就会觉得，这好像是个不可能完成的任务。所以拉格朗日就在那儿琢磨：这是我尝试解决这个问题的一个策略。我能找到五次多项式的公式吗？这个策略行不通，至少从这个策略来看，似乎是不可能的。但那是历史上第一次，人们凭直觉感到某种关于对称性的问题是研究这些多项式的正确方向。在他当时看来，这只是一个方法。
人们还没发现，其实两者之间有更紧密的联系，而且，也许我们不该去寻找公式，而是应该问一个相反的问题：你能证明它是不可能的吗？所以，他算是播下了这颗种子。大概五十年后，阿贝尔肯定读过拉格朗日的著作，并受到了影响。伽罗瓦，我们知道他爱上数学的时候，就非常喜欢拉格朗日，所以很难想象这两位年轻的天才，他们俩都围绕那个问题得出了非常相似的洞见。
这并非完全凭空出自拉格朗日，但回到你的问题，关于我们能否验证这是个好想法，拉格朗日并没有得出什么具体结果，他从来没有解决那个问题，所以我们也就无从知道那是不是一个正确的问题。他只是提出了问题，这里面有一些内在的趣味，这在当时对数学来说也不是很重要。大多数人对物理应用更感兴趣，这几乎算是一个旁支。近乎于一种娱乐性质的爱好，比如阿贝尔，他开始研究五次方程的东西，但后来有人建议他把更多精力放在研究椭圆函数上，所以他更多的成果是在那方面。
之后他就英年早逝了。他二十六岁死于肺结核，然后是伽罗瓦，他把这两方面的想法都朝着正确的方向推进了。他真正理解了抽象的本质。他在监狱里写了一篇非常精彩的文章，我们可以好好聊聊他的人生故事，相当疯狂。但他当时就是个青少年，在监狱里，他之前试着提交数学论文，但被拒了。所以这又回到了可验证奖励的问题。当时作为验证器的学术界拒绝了他写的东西。
因为坦率地说，那篇文章写的不怎么连贯，它不是一个完整的证明，它并没有清晰地阐述它的理论到底是什么，它只是一个羽翼未丰的年轻数学家，还在摸索阶段。所以当时的可验证奖励就是不行，但他有一种直觉，觉得这里面有东西，于是他写了一篇慷慨激昂的长文，论述数学的本质会随着时间经历变迁。他谈到了代数本身的出现，以及人们从仅仅思考数字到能够纯熟地处理纯粹的代数表达式，而不必拘泥于解释这些表达式的转变。
他有一种直觉，认为我们应该进入另一个抽象层次，不是去思考公式本身，而是去思考这些公式背后潜藏的对称性。但这仍然是一个非常不明确的理论。所以，如果你想问他得到的可验证奖励是不是解决了别人没解决的问题，情况是阿贝尔证明了五次方程无解。那你会问，伽罗瓦做了什么？原则上，伽罗瓦理论能让你做的是，给定一个具体的多项式，他会给你一套规则，来判断这个特定的多项式是否有你能写出来的根。
比如x的五次方减一，你知道一个解是一；或者x的五次方减二，你可以写出二的五次方根。所以，并不是每个五次多项式你都写不出解，但你能不能找到一个具体的多项式，并证明你无法用根式写出它的解？他连这个也没有确切解决。他做的东西要抽象得多，他没有给出一个具体的例子来证明他做不到。所以，甚至要描述他解决了什么问题都非常棘手。
然后他就去世了，这是一个非常浪漫的故事。他有一场决斗，我们可以深入聊聊。有很多传说，比如据说他在决斗前一晚写下了所有想法。实际上，他是之前一直在试图发表他们研究五次方程，似乎对健康不利，对身体非常不好。对对对。如果你是个年轻天才，千万别碰五次多项式。后来他拜托他弟弟和一位密友说：“把这些笔记交给高斯，交给当时最重要的数学家们，因为我觉得这里面有东西。
”但即便如此，这些想法当时也没真正传开。他弟弟和那位朋友确实努力去传播了。但过了差不多二十年，刘维尔才看到这些笔记，觉得里面可能有点东西，然后试着去整理，去理解伽罗瓦到底想说什么。再之后又过了大概二十年，若尔当才真正整理出一套接近现代群论的体系，并归功于伽罗瓦。你完全可以想象历史走向另一种可能。这些想法其实也在数学的其他分支里慢慢浮现。
如果伽罗瓦这个人没那么戏剧性，他可能就被历史遗忘了。但从拉格朗日隐约觉得根的对称性可能是正确方向，到最终形成现代群论的样子，这中间跨度太长了。很多时候，这些想法甚至通不过人类评审那种可验证奖励。对吧？因为稿子送到某人桌上，对方说我不太确定这里面有没有东西，再送到另一个人桌上，还是没反应。必须得有一个人能识别出它的价值。
而且，即便到了那一步，当时也还解决不了什么实际问题。你可能会提到密码学、物理学之类的应用，那得等到二十世纪，盖尔曼才会去想，也许理解某些群如何分解，跟粒子由什么构成之间存在某种关系。他纯粹基于群论问题就预言了夸克的存在。群论最有趣的应用之一，就是连预言夸克存在这件事儿本身都是一个群论问题。这离拉格朗日那会儿已经过去太久了，才出现这样的东西。
所以你必须问：如果不以解决问题为标准衡量进步的方式是什么？这得能捕捉到伽罗瓦脑子里那种直觉。他说：“我觉得这里面有东西。”时，那是什么直觉？拉格朗日说：“我觉得这才是正确的思考方式。”时，那是什么直觉？刘维尔看到这个死去多年的年轻人留下的零散笔记，觉得嗯，这些可能有点东西。时那又是什么直觉？这太难说清楚了。
不过我最近在做另一系列视频，讲的是压缩即智能这个想法。虽然我切入的角度不太一样，但确实有道理。表达越简洁，预测力越强，就越让人觉得智能。所以我在想，能不能设计某种可验证奖励，不只看你有没有解出来，或者解出来有什么用，而是看你做到这件事儿所需的概念有多简洁。回到黎曼猜想的解法，如果AI解出来了，会是什么样？
我觉得第三种可能的方式就是它纯粹靠更努力的硬算，就像费马大定理，也许可以有一个初等证明，但得写几千页，根本没法读。而更优雅的方式是用椭圆曲线那套理论，也许黎曼猜想也会有一个几千页的证明，但没人能从中真正学到什么。你真正想要的是那些想法的简洁压缩版本，能让人理解。我不知道，也许用科尔莫格洛夫复杂度把它放进你量化优雅的尝试里，但我觉得这不容易。
不过我也觉得你必须这么做，才能奖励那种伽罗瓦式的直觉，而不是只奖励你有没有解出问题。要给科学找一个启发式标准，确实非常难。但很明显，人类一直在以某种方式做这件事儿，而且显然AI迟早也会做到。这不仅跟可验证奖励有关，还因为最终目标大概是理解，是人类的理解。所以，就算你真的有了一个几千页的数学证明，或者一套宏大的新物理理论，目标还是理解。
如果目标只是预测能力，那你大可以让自动化工程师去造火箭、飞船什么的。我们完全不知道这些东西怎么工作，但能星际旅行就行。但会有很多人想要理解，你仍然需要某种简洁性函数，能把复杂的思考方式蒸馏成正确的那一个，就像牛顿的万有引力定律那样。你仍然会想训练AI去做这件事，去找到那个压缩后的表达。所以大家特别担心数学这个领域，怕AI证明了黎曼猜想。
但我们对数学的理解一点儿没加深。我有几个问题：第一，这种事儿真的该担心吗？人类在攻克大问题时，之所以会提出通用的自然对象、子目标之类的东西，不就是因为这些东西在处理复杂重要的问题时确实有用吗？所以，从理论上想，直接提出与问题相关的自然抽象来解黎曼猜想，难道不比绕开这些更简单？第二，从经验上看，现在AI在问题上取得进展时，我们观察到的是这样吗？
AI找到单位距离猜想那个反例的时候，你可以直接读它的chain of thought，我看不懂，因为我不懂数学。但在其他数学家看来，它是可理解的。他用的是已知的数学概念，用自然语言证明了它们之间的关系，结果反而加速了我们对这个对象和猜想之间联系的理解。所以，从经验上看，这事儿真的值得担心吗？我觉得要看情况。
对，再回到解黎曼猜想的三种可能方式，第一种，还有今年另一个大的是某个编号一一九六的埃尔德什问题。但这是个很小的想法，形式是某个领域的专长加另一个领域的专长，在两者之间画一道闪电式连接，这种人类很容易理解，对吧？因为你只需要展示这些连接的起点和终点就行了。如果进展的性质是理论体系构建，那你就得花更多时间去理解那座新建起来的大山，因为它是一条新线索。
不只是两点之间的闪电式连接，而如果进展的性质只是纯粹的蛮力，就是那种超长的东西，没有新理论，只是一条很长很长的推理链，那就会出现那种情况，就是好吧，需要一整个消化过程。所以，我不觉得有一个明确的答案。我觉得要看解出来是什么样子。在理论体系构建这边，我其实很想知道，它默认会是非常人类可理解的吗？就像我们看到伟大数学家提出新理论那样，还是会像一座异类的大山？
我们甚至需要重新处理我们惯用的那套抽象。最接近的例子大概是ABC猜想那个尝试性证明，我们也许不该深入这个，它很可能不是一个正确的证明，但基本上它是一套全新的思维方式，由日本那位本来声誉很好的数学家提出来的。数学家们花了非常长的时间才勉强弄懂他在说什么，但他给人的感觉就是一块异类的数学，是理论构建，不只是一条长推理链。
他管他叫什么宇宙级几何之类的，所以你会担心的是，对会不会就是那样？最大的恐惧是他搞出那种东西，然后就像ABC猜想一样，大家花好几年爬那座山，最后说，嘿，这根本不对，对吧？如果他最后是错的，但看起来又特别像对的，就算他是对的，爬一座新山也要费很大力气。如果我们真的走到那一步，David Basses 写过一篇很棒的播客，叫《定理经济的衰落》。
他在里面谈到，历史上就像你说的，数学是提出定义和问题，然后去证明关于他们的定理。而定理证明这部分其实拿走了所有的功劳，但它本质上寄生在提出定义这件事儿上。历史上这在功劳分配上不是问题，因为如果你提出了定义，你大概率也会是那个证明定理的人。但现在的情况是，如果有价值的工作是提出洞见，然后 AI
只是自动化了后半部分，那么想象一个场景，AI 对世界上很多重要猜想给出了类似阿巴式的直接论证，然后我们就有了这些证明，接下来就轮到人类或者未来的 AI 去整合它们。
我确信，再次强调，我对这些论证本身没有任何实质理解。但我确信，如果你能接触到它，会让你更容易去思考这里到底发生了什么，有没有更深层的方式去理解这个证明为什么成立。从而更容易提出群论背后的那些想法。对我觉得这会有巨大的帮助，因为你看，探索新数学的很大一部分工作，就是大部分时候都在犯错。你在尝试解决一个问题，这个过程感觉不像是持续的往山上迈出正确的一步。
更多时候感觉像是一次随机的醉汉漫步。你在做一件事儿，然后发现哦错了，然后不断的发现错误。所以，如果你至少知道你正在努力消化的东西，最终通向一个正确的解。那感觉就像是在进步，仅仅因为它提供了一种知道这条路能通向答案的感觉。在近代数学史上，有很多这样的例子。感觉像是我们的触及范围超过了我们的理解能力，有些东西在被理解之前，很久就已经被证明了。
我最喜欢的一篇论文开头之一，它甚至不是一篇研究论文，更像是一篇阐述性的文章，来自一位叫Timothy Child的数学家。他当时试图理解一个叫forcing的概念，有一个叫连续统假设的问题。他大致是在问：自然数有一个无穷大的尺寸，实数也有一个无穷大的尺寸，那中间有没有别的尺寸？答案是：既是也不是。这取决于你的公理体系。
它有点超出了我们常用公理系统的范围。这是个有趣的答案，但用来描述它的方法真的非常非常难懂。就是这个叫forcing的东西，在这篇论文的开头，他写道：“我想每个人都知道未解决的研究问题这个概念。”但我想提出一个未解决的阐述性问题，就是说，没错，我们证明了它，但我们并不真正知道它为什么是对的。然后他提出了那个阐述性问题的一个部分解。
你可以想象我为什么爱死这个提法了，因为这就是我生活的全部。我不做数学研究，我的工作完完全全就是关于：即使一个东西已经被证明了，什么才是理解它最清晰的方式？证明和解释之间是有区别的。所以在这一点上，我觉得你基本上触及了这个区别的重要性。而这会成为主要的激励，或者说激励方式必须改变。不仅在数学领域，在其他科学领域也一样。
从证明关于世界的事情，转变为把证明整合成问题或更高层次的洞见。但我们之前吃午饭时聊到你最近做的一个关于设计的演讲，以及设计如何帮助我们理解事物。那么推到极限，一个想法的概念化和这个想法本身真的有区别吗？比如想想狭义相对论和时空图。这就像是一种我们用来阐释长度收缩和时间膨胀为什么会发生的方式，但这是否就是现实本身？
所以阐述在某种意义上似乎就是解释本身。这里面有几个有意思的点，一个是那些能提出真正新颖洞见的人，往往在表达上也特别清晰，这两者之间有很强的关联。你可能会觉得，大学生的经历往往是教他们的专家未必是那个话题最好的讲解者，因为他们被自己的专业知识给惯坏了。但至少在某些情况下，真正搞出全新东西的人，比如爱因斯坦或者克劳德香农，你去读他们的论文。
会发现写的非常清晰，不会让人觉得哦，这只是写给专家看的，你得拿把砍刀才能劈开。他们都是非常优秀的阐释者，费曼也有这个特点，非常优秀的阐释者。所以，也许大脑里负责在研究层面想出正确新思路的那个部分，同时也擅长做好解释。我觉得这和AI也有关。我们习惯性的认为AI会成为自动定理证明器，而数学家的角色会转向我这种工作去解释这些东西。
但我有点怀疑，实际上AI也会很擅长做这个，而且很可能在解释和提炼这方面做得比大多数人都好。这其实并不是留给数学家的事儿去消化和解释发生了什么。很可能事情的发展方向就是这样。我能想象，我们也可以聊聊这为什么可能不对，但很可能那个能想出解决新问题的绝妙新点子的东西，同样也擅长解释它。对，这是我最近想法的一个转变。
你觉得你最后会做什么？或者说，你还有整个数学界、人类数学界会做什么？我大概会一直做我现在做的事儿。直到死，哪怕就是哪怕，如果末日论者是对的，那可能也一样，没错，因为原因是一样的。对对，你知道有句话是给人一堆火，它能暖和一夜，把人点着了，他这辈子都暖和。我对AI的看法就是这样，开玩笑的，因为解释者或老师的一部分功能是给人们好奇的东西增加清晰度。
这是一方面，但另一部分更多是关系性的，更多是提供动力，提供一种策展感。我听过一个很有意思的说法，就是数学家最终会变得更像是美术馆的策展人。AI解决了问题，所以艺术品已经存在了。对吧？他们甚至知道怎么解释的特别好，就在那里。但你仍然需要有人帮你在这个近乎无限的空间里导航，告诉你哪些想法值得投入。有人来做这件事。
而这一点，即使AI在某种意义上做得更好，我觉得我们永远会更喜欢一个和我们有关系的人，因为我们被激发兴趣的方式是一种社会现象。如果你是想开发某种特定的技术，那可能不一样。你需要知道那个，但我觉得听这个播客的人，他们信任你对什么是有趣话题的策展。他们来这里并不是因为你的下一个话题是他们本来就想去了解的。
他们信任你作为策展人，所以我的角色，甚至可以说其他数学家的角色，可能真的会微妙地转向那个策展方向，去判断哪些想法值得展示。这其实已经是我现在工作的很大一部分了。我觉得人们常常以为做视频的大部分时间花在视觉上。当然是花了一点，但不是立刻就能做好的。但实际上，很大一部分时间是在决定什么值得说什么值得放进去，因为这就是我想投入的事儿。
而且我觉得，我和某些人建立了信任，他们好奇我会选择把什么推出来，即使AI做得更好。就像人类音乐家永远会有一席之地，因为他们背后有那种社会功能的故事，即使从模型出来的MP3文件的客观质量更好。我大概就是这么看我的工作前景的。我想回到之前那个问题，我们之前聊到。AI刚刚跨过了一个门槛，一个重要的基准，就是能把现有的想法连接起来，做出新发现或者证明。
正为某个东西就在它刚跨过这个门槛的时候，我们就在问：好吧，那下一步是什么？我想，嗯。顺便说一句，那个门槛还有很多事要做，不是说打了几道闪电就完了。我仍然觉得未来几年会有一个真正把东西连接起来的繁荣未来。所以推到极致。你甚至可以说，我不确定这么说准不准确，但可能很多最重大的突破，在某种程度上都是这样。
就像广义相对论，不就是把黎曼几何和狭义相对论连接起来吗？对吧？所以，随着AI在这类连接能力上越来越强，也许很多重大突破在本质上并没有那么不同。不知道你怎么看？我们之前聊的很多都集中在解题和数学的那一面，比如攻克埃尔德什问题之类的。要我说，可能连大部分数学家都不会把自己的工作描述成瞄准下一个要攻克的难题。
你了解朗兰兹纲领吗？嗯，好。它甚至不太像一个数学分支，更像一种研究精神。费马大定理就是其中一个苗头。你有两个看起来毫不相关的东西。找到他们之间的联系，就导向了解决方案。朗兰兹是位数学家，他有一封现在很有名的信，基本上就是在阐述，似乎很可能还有更多这样的联系。他甚至把联系的性质说得更具体了一些，让你可以想象一张大地图，这边有个山谷，那边有座山，那边有一片平原。
很多数学家会把自己的工作描述成试图理解这张地图上的脉络，这方面的进展。甚至不是这里有个具体问题，我们知道通过那个联系就能解决，而是因为历史上一次又一次重大难题都是靠找到联系才攻克的，所以大家几乎是抢先去找这些联系。所以这其实很有意思。你以后碰到数学家，可以问问他们自己工作的性质是更像朗兰兹纲领，还是更像瞄准某一个具体问题。
你会得到一种很明显的两派分化，但AI成为超级连接器的可能性，感觉会是这方面探索的一个放大工具。不过这很难衡量，对吧？这又回到我们之前说的，你怎么打分？说对你做到了。如果是攻克一个难题，你有明确的方式说做到了，你可以写头条。AI公司可以发公关稿说我们做到了，但如果只是感觉这个联系找对了，你可以围绕它写定理，这也是那个领域论文的样子。
但我觉得这需要更多人类参与其中来判断这到底是不是我们想要的那种联系。不过我猜未来五年这些模型最有用的进展，大部分会是这种真正填满那种只有跨领域专家才能画出的联系版图。就像你指出的，我们居然还没做到这一点，这本身就有点意外。我很好奇，从技术层面看，到底是什么导致了这种解锁？因为一方面，你可以在脑子里解释为什么一个人可以是所有这些领域的专家，却画不出那些联系。
那就是当推理的方式是这种自回归的 chain of thought 现象时。自回归其实是一种非常非常奇怪的产出方式。你仔细想想的话，你是个聪明人，想象我把你锁在一个盒子里，你与外界互动的唯一方式就是收到一张纸条。然后有人说，你能预测接下来会出现什么吗？你预测了接下来会出现什么，然后你的记忆被清空，然后你又收到另一张纸条。
想象这个过程重复很多很多次，最后出来东西。别人说看看你写的这篇文章，你可能会看着他说，这太糟糕了。这不是我会写出的文章，因为反复预测下一个东西的过程，跟你作为写作者去构思、去推敲的方式是完全不同的。尤其是，你很可能会被你的上下文所奴役，你可能在回答某个特定领域的问题，于是你调用了周围所有的上下文，一路往下走。
而真正有实质内容的那个连接，本质上恰恰是一个非常不可能出现的连接。你可以做各种强化学习，想方设法去提升，但到底是什么在专门加权激励模型去建立那些不太可能出现的联系？毕竟绝大多数这类联系都不是那种可预测的下一个token。所以情况可能是，你确实有智能，但它被锁在那个盒子里，只是交互方式很别扭。我好奇的是，能不能偶尔去质疑一下 token 生成的前提，从中找到一些突破？
我觉得这不会像调调温度参数那么简单，但有没有什么办法能利用现有的智能水平，找到合适的方式去激发那些联系，从而解锁我们看到的这些东西？还是说你只需要再多一点点智能，让它在预测层面就能预判出应该建立那种闪电式的跨领域连接？我觉得，与其从架构甚至损失函数的角度去推理，不如从数据的角度去想。我们有扩散模型，也能生成文本，它们产出的东西在性质上并没有本质不同。
只是大家探索的还不够。我觉得更相关的问题是，不管用什么架构、什么损失函数，你喂给它什么样的数据，就会激励它产出什么样的结果。而且看起来他们确实在进步。先不说数学，我们确实有过几个这方面的例子。但如果你只看为什么他们在自主 agent 的方面做得越来越好，我觉得就是他们所处的环境里自回归的生成。我们先退一步。
在整个代码库里搜索一下这种步骤，然后再退一步评估一下我的错误，这就是有效的方法。我猜在科学或数学进步的例子中，情况是你有前沿数学难题，这些题是数学家专门设计的，需要把两个不同领域连接起来才能解。而且我猜有各种巧妙的部分合成的方法，可以造出越来越难需要建立这种联系的题目，比如去掉一些假设，但仍然要求AI得出答案。
这样一来，损失函数是什么其实就不重要了，关键在于你能不能设计出一个环境来激励这种能力。对。感觉应该是能做到的。我当然说不上来具体怎么做才能解锁这一切，但如果未来三年没有出现更多这种闪电式的连接，你不觉得会挺让人意外的吗？我觉得这是一个很重要的思考点。我们常常只关注单个系统有多聪明，却忽略了AI还有其他方面的优势。
在这个语境下，他们的关键优势是我们可以并行化，可以任意扩展它们。这样一来，不管他们的能力处于什么水平，都不再只是数学史上某个特立独行的天才建立几个联系，然后在决斗中死去，而是可以普遍的像水漫过堤坝一样覆盖所有在那个能力水平上可以解决的问题。我觉得这是数字心智天生具备的众多优势之一。我们对此思考的还不够。
其他优势还包括，他们可以融合所有知识，至少未来会有技术实现这一点。你还可以复制出知识水平完全相同的副本。但没错，我觉得这种并行化是一个非常重要的特性。我很好奇你的预测，即使他们不如数学家聪明，但考虑到 AI 公司出于公关原因正在往里砸几十上百亿美元，数量本身就会带来质变。这个方向感觉是对的。要我说，就拿蒙哥马利和戴森在普林斯顿高等研究院的那次对话来说，那次对话暗示了黎曼猜想。
或者说黎曼非函数的零点和随机矩阵之间存在某种联系，这种事儿感觉就是你可以尝试去自动化的，你可以让代表各个领域专业知识的agent。基本上就是我们都知道，一个研究院比个人更聪明，把大家聚在同一个地方，就是为了促成那种偶然的对话。那么，在 agent 之间去设计这种偶然对话会是什么样子？这很有意思，因为你指出了可以汇集所有知识。
我其实，在想。其中一个优势会不会恰恰相反？就是你可以反着来。有时候一个AI失败是因为它陷入了一条糟糕的chain of thought，而且很难把它拉出来，对吧？所以，我就会干脆重新开始。人也一样，对吧？有时候你开始用某种方式思考一个问题，实际上需要做的只是退一步。也许有时候，这种形式就是你听过一些故事，有人花很长时间试图证明什么，然后某个时刻他们说：“等等，如果我试着证明它不可能。
”或者证明它的反面呢？这种解开你自己的上下文，用全新的思路去处理的方式，你可以想象把这件事系统化，或者故意给多个不同的 agent 不同的上下文片段，然后试着去比较和对比。我们没法像那样操控自己的上下文。在这个 AI 与数学的系列里，我们要做的第一集会讲他们解决 IMO 题目的事。我想重点讲一道他们没做出来的IMO题，这道题很多非常聪明的学生也没做出来，陶哲轩也没做出来。
这道题的性质基本上是大家对这个题非常恼火，管它叫钓鱼题。我几乎不想剧透，因为我想围绕这个来构建这一集，引导观众进入那种。在不知道它其实有个简单解法的情况下的状态，这样你就能真正体会到一个学生解这道题时是什么感觉。基本上基于国际数学奥林匹克竞赛这个背景，有一条非常优雅的路径，让你真的觉得那会是解法。这道题被放在那个位置，解法的特征真的非常诱人，但很难证明它是最优的，原因是它根本就不是，有一个几乎不用动脑的解法才是最优的。
所以，这和整个AI故事的关联在于，对人类来说。回答这个问题需要的是跳出你的上下文，跳出你身处MO的上下文，跳出你被训练来解决这类竞赛数学题的上下文。如果你只是把它当成一个脑筋急转弯，随便从街上拉个人来问，他们大概都能答得很好。有时候你在其他领域做人类研究时，也会想要同样的东西。有时候就是需要能够说刷新你的思维，用一个完全不同的方式来切入。
所以在数字心智拥有的所有优势中，这也许真的是其中之一。就是更系统化一点，刷新你的思维会是什么样子？试着回答两个分开的问题，分出两个 agent，一个试着证明，一个试着证伪，一个用这种方式试，一个用那种方式试。而且他们故意拥有不同的上下文。我很好奇，如果三年后我们再来聊这个话题，那些登上头条的重要成果里有多少会带有这种特征？
基本上就是擦除之前的上下文，尝试一堆不同的东西，而不是把一堆不同东西的结果合并起来。我觉得这非常有意思，因为人们对AI的一个普遍担忧就是上探索，意思是他们思考方式都一样，因为训练方式相似。这就是为什么他们不擅长写作，他们有点像是。总走同一条路，说话模式也类似，等等。但是，也许AI真正的关键优势在于，你可以系统性的听起来，单位距离猜想花了那么久才被证伪，原因之一就是人们先入为主的认为这个猜想是真的，所以他们大多是在试图找出证明它的方法。
那么，也许AI的一个关键优势。恰恰就是通过系统性的尝试否定和证明任何给定陈述的正面来增加熵，或者说能够系统性的给不同的 agent 不同的偏见。说得好，在人类科学史上有件事似乎很重要，就是爱因斯坦深受这种偏见的驱动，认为事物在不同参考系中应该看起来一样。他还有很多其他类似的偏见，但这在他的思考中非常关键。
而你可以系统性的去考察一堆启发式方法。看看哪些在解决特定问题时是有效的。对，所以你的建议基本上就是在 prompt 层面系统性的增加熵，尽管在自回归层面会有这种不可避免的坍缩。对我觉得爱因斯坦会是个很有意思的例子。因为它既有事物应该是真实的这种偏好，也有上帝不掷骰子这种偏好，对吧？你几乎得确保别一不小心让你所有的 L M 都成了爱因斯坦，因为你可能会在量子力学这里卡住。
对对对，这其实正好说明对科学来说不存在唯一正确的启发式方法。你实际上需要的是多个独立的研究项目，各自带着自己的启发式方法。对，对，这感觉就像传统的软件，对吧？只要你能以某种方式描述它。你就有传统软件来以某种方式放大这种熵。如果你能为你想要 prompt 的不同思维方式建立一个清晰的本体论。你去探索整个本体论，然后每一个独立的思维方式就自己跑去做它该做的事。
但我觉得这里有个设计问题，就是你到底该怎么描述这些不同的方法？简单的做法是你是在试图证明它，还是证伪它？更难的做法是去定义你能用来证明它的所有策略，并确保你在探索时有足够的广度。我觉得人们没有意识到，当你给这些模型配备一个好用的工具，比如 Cursor，它们能帮你处理多少事情。显然，AI 在数学上的进展比其他领域快得多。
人们把领域的可验证性当做关键原因，我认为这是两个重要原因之一。但我觉得人们真的忽略了另一个。我在实验室外面，不知道里面到底在发生什么。所以这只是一个非常天真的理论，好吧？问一个跟AI在数学上进展神速相关的题外话：为什么它在计算机使用方面进展这么慢？计算机使用其实是非常可验证的，比如我的快递包裹发货了吗？
或者我的活动预定好了吗？等等，这些都是极其可验证的事情。计算机使用所缺乏的是可反复尝试性，因为网站有机器人检测，而且运行并行rollout需要巨大的算力。你很难在亚马逊的同一个结账流程上同时跑一千个并行 rollout，因为你会被 Andy Jesse 关掉，对吧？然后他就可以亲自按下 Doorcash 的红色关闭按钮。
所以你可以尝试去复刻每一个网站，这非常耗费人力，会拖慢你的速度。顺便说一句，目前用深度学习来学习一项技能，之所以需要做这么多并行 rollout，是因为我们还没有解决样本效率的问题。就像Jeff Bezos说的，用吸管吸取监督信号。当然，人们在研究很多不同的技术，但从根本上说，这是一个大问题。现实世界中的大多数事情都很难用同样的方式封装起来。
编程和数学是这个规则的例外。但如果你只是想弄清楚我怎样才能建立一个成功的新业务，我怎样才能在市场上交易一天并赚到钱，你做不到，因为你必须与现实世界互动，而且事情每天都在变化。这意味着你无法在模拟器里不断重放、反复尝试和训练，但数学。当然是例外，我觉得这实际上是推动该领域以及编程领域进步的一个重要驱动力。
它不仅仅是可验证性，还必须是可反复尝试的。人们指出的AI进展迅速的第三个原因是，他们非常关注Lean和形式化。再说一次，我对实验室里在发生什么一无所知。我感觉Lean对于AI目前的进步水平来说，并没有那么重要，或者说为什么AI能够解决单位距离问题？他们，抱歉。是通过单位距离问题证伪了那个猜想。他们发布了
Chain of Thought，或者至少是 Chain of Thought 的重写版本，里面没有任何 Lean 的内容。
我认为 Lean 提供的那种基于过程的监督，也就是你知道每一步都是正确的，似乎不如拥有一个可验证、可反复尝试的结果来的重要。这个观点很有意思，就是说，可反复尝试性比形式化更重要。关于 Lang 的作用，我试着说说看。表面上看，你可能会觉得 Lang 给数学提供了某种独特的东西。因为它能判断证明是否正确，有那种老派的软件可以直接告诉你对还是错，你把它当成验证奖励来用。
但反过来支持你观点的是这样一个事实：早期的尝试，我还是拿Mo来举例。一开始DeepMind基本上就是全用Line来做，但到了第二年就全换成自然语言了。所以按你的说法，练确实不是必须的。不过我觉得形式化这个领域还有一个尚未被充分探索的好处，那就是目前你仍然需要人来最终审核，比如单位距离猜想的那个反例，还是得有人看过说没问题。
这就给无限探索这件事设了个上限。你想想 AlphaGo、AlphaZero 那种模式，他们完全在自己的世界里不停地自我对弈、自我探索。完全可能偏离人类需要关注的任何轨道，但他们始终有那个自动化的可验证的奖励。这不仅仅是说你可以拿它来做强化学习，更关键的是，你基本上永远不用去检查，只管往里砸算力，让他们去探索围棋的宇宙。
有意思的地方在于，也许这条路走不通，但我觉得现在还不能下定论。有了 Lean，你可以想象一个基本上可以无限运行的程序，它不断地尝试去扩展 Mathlib。Mathlib 是一个 GitHub 仓库，目标是把所有的数学都用代码写出来。当然，它离所有数学还差得很远，但他们的愿景就是那样：用代码写成的数学，你可以直接问这个证明对吗？
写这些证明非常费时费力，围绕它已经形成了一个不小的社区。但你可以想象，如果有一个AI，你给它一个简单的指令去扩展Mathlib，也许你可以从Mathlib分叉一个版本出来，这样就不会有乱七八糟的东西混进去，因为人们对主仓库里该放什么有自己的品味。你就维护一个纯AI的Mathlib分叉，然后让它跑起来别停，它不需要任何人去检查，对吧？
它可以一直跑下去，它可能会自己提出猜想，自己发展出新的理论和不同的定义。也许其中很多都是没用的，但它就是能长出一棵无限的树，这是数学独有的，其他领域都没有的特性。你可以按下启动键，然后只管往里砸算力，十年后再回来看，问他你有什么成果，他肯定能拿出点东西来，对吧？然后问题就变成了这些东西有用吗？你怎么筛选出有用的部分？
光是能做到这件事本身就很有意思。如果这样都产生不了什么有趣的数学洞见，那才叫奇怪。所以我觉得这才是Lin真正重要的地方。关于Lin在这个故事里的重要性，其实有两个不同的层面。这是第一个层面，基本上就是说，你可以像下围棋一样，完全不用人工检查就能取得进展。围棋可以做到这一点，但我不认为自然语言数学也能做到。
这非常有意思。你看过 Carpathy 那个 Auto Research 的想法吗？他基本上就写了一个 Python 文件，用来做最基础的 LM 训练，然后建了个代码仓库，让 LM Agent 去尝试修改那个文件。如果某个修改能加快训练速度，就保留下来。还有 Eric Zhang，他之前来节目解释过 AlphaGo 的原理。
他在尝试构建一个超强围棋 AI 的时候，也做过类似的事。他有一些很有意思的观察，比如这种系统特别擅长沿着一条路跑实验，一路走到黑，但他不擅长在死胡同前及时停下，也不擅长做极度并行的探索。不过。这些以后可能都会改变，想想这件事儿发展到极致会是什么样子，真的很有意思。说到底。这不就是人类数学研究这个机制在做的事儿吗？
就像是一个在不断往有趣、有用的方向扩展的图书馆，而且。这种方式下，你没有任何基于结果的监督，你没有一个具体的结果目标去激励它，但你有一个过程，你知道每一步都是正确的，你只是不知道它是不是在朝着一个有趣的方向前进。但话说回来，如果你真这么做，你肯定不想完全跑偏，在逻辑空间里随机游走。你大概会想要一个监督模型来提供一些启发式的判断，看某个方向有没有用。
嗯，大概就是这种思路。你知道，已经有人在研究这个了。这属于那种，五年后我会很好奇，想找未来的我们来聊聊，看这条路是不是完全走不通。不过陶哲轩提到过一个研究项目，基本上就是穷举搜索所有可能的代数系统。你可以想象，给代数系统设定不同的公理，比如我们提出群论的时候，有一套特定的公理体系，看起来像是些随意的规则，除非你了解背后的动机。
但本质上，如果你把所有可能的公理都试一遍呢？会不会有哪个能产生有用的东西？绝大多数结果都是垃圾，要么完全坍缩，要么没有任何有趣的结论。但偶尔会出现一座小岛，一套完全不同的公理体系，至少从能推导出的定理数量来看，内容非常丰富。这简直就是自动定理证明器最擅长的事儿。去探索那个空间，看哪个能结出果实。也许其中一座小岛，事后你能给它赋予动机。
说这套结构想刻画的就是这种东西，就像你看到群的公理，一开始不知道它跟对称有关，但事后才意识到，哇，这对研究对称太重要了。你可以想象类似的结果，但不只是探索代数系统，而是任何公理的所有可能的逻辑推论。说到能不能在没有链的情况下提供过程监督，DeepSeek之前推出了他们的DeepSeek数学模型，还发了一篇论文讲怎么训练的，挺有意思的。
他们面临的问题是自然语言证明你没法判断对错，所以他们搞了一个验证器，然后用一个原验证器来训练这个验证器，确保在 AOPS 这类题目上验证器给出的反馈是靠谱的。结果它确实有效，这就很有意思了。自然语言验证加上某种原验证，至少在已发表的文献里看起来是可行的。而且在我们用的产品里，似乎也行得通。比如你看编程 agent，他们在写干净代码、重构代码这些方面越来越强。
我敢肯定，背后有基于过程的 LM 当裁判这类机制，在尝试提供品味判断，说嘿，这个函数写的干不干净，有没有重复的模块化形式之类的东西。我觉得这套方法对数学应该也适用，对吧？看起来没什么理由不行。数学比其他任何领域都更有可能，哪怕只用自然语言，你也能信任一个验证器。我们之前聊过为什么他们在写作上不行。我当时问，为什么不能让他们当裁判？
比如给两篇学生写的文章，他们能判断哪篇更准确、更有洞见。那为什么不能用一个验证器来判断这篇文章写的好不好？也许最终的失败在于，即使他们能区分B级和A级文章，他们其实分不清A级文章和那种你真正想读的东西，那种在Substack上能追下去。有洞见，各方面都好的文章，他们反而会偏好那些毫无洞见的文字。所以回到数学上，问题就在于。
单纯判断一个证明对不对这一步本身就适合用自动验证器来做，哪怕是用自然语言，你大概还是能取得很大进展。但我还是喜欢Lan那条逻辑树路线，因为你可以真正的跑偏，不受任何约束，不像以前那样被既有的表述方式限制。就像所有人都在聊AlphaGo的第三十七手什么东西，能让你跳出先前的启发式判断。我觉得在探索过程中，刻意与外界保持一定距离，作为自然语言数学研究的一种补充，可能会很有成效。
零的另一个意义在于，假设你有一个纯自然语言的强化学习环境，还有一套纯自然语言的证明。人们说去把AI数学家，然后他们每天生成十篇论文，产出大量东西，但如果错误率哪怕只有一丁点错误率，Alex Kontorovich也谈过这个问题。那对数学家来说就变得无法忍受了，因为你基本上会想，每次我看到这些东西，我都不确定值不值得花时间。
即使一百篇里有九十九篇是对的，我甚至不确定值不值得去通读一遍。因为找出那个错误非常费劲，而且如果最后发现你花的所有时间都耗在一篇垃圾论文上，那真的非常令人沮丧。所以，如果有任何东西能给你一个绿色的对勾，告诉你即使这个东西理解起来很复杂，即使读起来很痛苦，但你至少知道它是正确的。其他任何领域都会求之不得，对吧？
而数学就有这个。如果模型也能把他们的自然语言证明给形式化，那就更好了。所以，零作为推动数学整体进步的验证环境。它的重要性可能被高估了，但我绝对不会把它从故事里完全抹掉。对，对，我也很喜欢把 Math Love 这个项目延伸成一个隐喻，用来形容我们文明很快就要面临的事情。哦，当然，对吧？几千年来，人类一直在构建这个知识体系，积累理解和一切，现在都浓缩到了这些模型里，而在某个时刻，模型会任意地扩展它。
顺便说一句，在写作这方面，我其实有个理论，解释为什么写作的进展比其他领域慢。我觉得其中一个原因就是你刚才说的，他们不擅长评判，不只是A和B的比较，而是会被B星号完全带偏。B星号就是那种烂文章，但它触发了所有A类文章该有的表面特征，然后奖励破解就完全失控了。但我认为另一个重要原因是，写作不像代码和数学那样是模块化的。
你可以用很多不同的方式写一个函数，它们基本上做同样的事儿。当然，你希望它非常干净，但归根结底能用就行。数学里的隐力也是一样。然后你可以有一个最终产品，它和产出它的方式是不同的。代码是产出最终产品的东西，你要的是一个能用的最终产品。而写作呢，最终产品就是AI直接产出的那个东西。每个段落、句子、词语都很重要，因为那就是实质内容本身。
它不像写作之外独立产出的某个东西，所以它不能是垃圾。代码可以是垃圾，但仍然能产出你想要的结果。但写作不行。但你刚才也指出，我们其实在让 agent 写出不仅能用而且干净的代码方面进步很大。为什么这种从能用进步到干净到可以合并的 PR 的能力，没有同样带来更清晰的写作呢？对，这点问得好。不过话说回来，真的没有吗？
我同意他们在很多方面是很糟糕的作者，但对于我阅读的很多内容，我发现直接复制粘贴到一个 LLM 里，然后说给我解释一下，效果更好。解释会比人类写出来的东西更好，所以这很有趣。我们一边说他们是糟糕的作者，一边我的实际偏好又是能不能直接让 LLM 解释给我听？即使我在跟一个人类专家实时通话，如果那是只有他知道、没有编码在训练数据分布里的知识，我希望他解释给我听。
但如果为了理解那个，我需要先理解一个更基础的概念，我宁愿如果社交上允许的话，直接说我们先停一下，我去问一下LM这是怎么回事，然后我们再回到你独有的那部分知识上。这听起来不就是蒸馏吗？解释本身就是一种蒸馏。所以，如果我在衡量你作为随笔作者的水平，比如给你一本书读，然后让你写一份读书报告，那我可能会觉得，好吧，L M给我的读书报告也许更好。
但我觉得，当人们说他写作不行的时候，他们真正想说的是，写作到底是什么？它不只是对已有想法的蒸馏，也不只是如何清晰的解释，因为他们其实很擅长解释写作的关键在于洞察力是什么，而这正是问题所在。自回归这种生成方式非常奇怪，因为当你写作时，你隐约知道要写出好东西就必须包含某种不可预测的元素。这不像是在脑子里调高温度参数那么简单，而是你要确切的知道在哪个正确的节点做出一个不可预测的举动，那才是更有洞察力的地方。
所以。即使他更擅长解释已有的东西，但最初产生那本你想要蒸馏的书的东西又是什么呢？那本书不是 LLM 生成的。然后你只需要它，那是某个作者通过对世界上各种想法的广泛探索，然后决定哪些方面是有趣的，以及哪种呈现方式能构成连贯、动机清晰的叙事。他们以某种方式把这一切组合起来。而且，如果他们是好作者，你很可能宁愿去读他们的原著，而不是蒸馏版。
所以，究竟是什么让探索本身变得有价值，让你愿意把内容上传上去？我觉得，当人们说他们写作不行时，指的正是这一面，就是那种不可预测性，那种刻意选择新颖与常规生产方式直接矛盾的东西的能力。对，说得好。我觉得他们在构建关于人的真正好的心智模型方面也特别差，而这在写作中是一项非常重要的技能。Anima Tusha和另一位合作者，我一时想不起名字了，他们做了一份很有意思的报告。
尝试教LM写出好的间隔重复提示卡，我特别喜欢这个例子，因为虽然这看起来像是一项完全随机的技能，但人们都在谈论一年内实现递归自我改进，而我们却连让这些东西写出好的记忆卡都做不到，这到底是怎么回事？他们尝试了很多不同的技术，而且他们都是很厉害的人。他们试了强化学习、开源模型，试了各种方法，包括 chain of thought，还有他们发给最好的闭源模型的那个巨型 prompt 等等，在我看来。
关键的制约因素在于，写一张好的卡片是要去投射一个人三个月后的心智状态，去想他们会以什么方式把问题关联起来。那一刻，他们脑子里会想到什么样的答案，以及这种激发是否能引出你真正想从那段文字里提取的细节？我觉得写作也类似。当你写东西的时候，这个过程之所以如此耗费心力、如此漫长，是因为你每写一个词或者每写一句话，都应该在想我的读者此刻脑子里在想什么。
对，即使我把措辞调换一下，把结尾的短语放到开头，让这个画面成为你读完整句话之前最先浮现在脑海里的东西。这种能力也许自回归模型就是不擅长，这更像是一种扩散模型的特性，需要从整体考虑，而不是逐句推进。但我也觉得这需要大量的心智化能力，而这些模型在这方面却奇怪的很吃力，这是个有趣的问题。他们在这方面吃力。
这奇怪吗？我可能会讲的不太准确。你知道，当你引用那些你曾经读过的研究时，有时候那个研究可能并不是真的。有一个非常令人难忘的实验：假设你想测试人们的情商，你给他们看一张某人面部表情的闪卡，让他们描述那是什么情绪。网上其实有些很好的测试，会放一张脸。然后给出四个可能的情绪选项，你会发现要准确描述出正确的情绪出奇的难，但你又能感觉到确实存在一个正确答案。
如果你让你生活中的人试试，你会发现那些社交能力很强的人做得非常好，而那些偏重左脑思维的人就做得不太好。好，这是一种可以做的测试。我依稀记得有一个类似的实验，他们找了一些刚打了肉毒杆菌的人，然后给他们做了前测和后测，结果在后测中，他们解读别人表情的能力就差了很多。这感觉有点奇怪。等等。他们打了肉毒杆菌，是参加测试的人。
你先做测试，然后你去打肉毒杆菌，你的脸就全冻住了。然后你现在理解你所看到的表情的能力就变差了。背后的想法是，理解你所看到的这种情绪，有一部分是通过你自己也做出同样的表情来实现的。这太疯狂了！从面部层面来说，你会动自己的面部肌肉，看到对方的表情，你会下意识的模仿，然后心里就明白了，哦，那是焦虑。在某种非常潜意识的层面是这样，所以从这个角度看，如果模型的心智理论能力确实很差，那也不奇怪。
他们当然什么都知道，因为他们读遍了所有人写的东西。但要说真正能设身处地为你着想，就像我的面部肌肉在模仿你的面部肌肉那样，这才是我能理解你感受的原因。模型没有面部肌肉，他们的大脑运作方式完全不同。就像一个外星人在尝试共情，他怎么可能有心智理论呢？心智理论对他来说会是一种非常突现的东西，而我们人类可以直接把它接入自己的思维里。
我们有现成的硬件可以直接用，所以这个很有意思。从这个角度看，这并不那么令人惊讶。好，Grant，我们都是Jainsy的合作伙伴。我猜这些年你应该接触过不少Janss的人，你觉得他们或者他们的文化有什么独特之处？我今年给他们做了一个采访，挺有意思的。部分原因是他们平时几乎没有任何对外宣传，在业界他们以极高的员工留存率著称，大家进去了就不走。
那次采访算是窥见了其中的内情。我记得有人评论说，虽然大家都有职位头衔，比如研究员、交易员或者工程师，但他们常常不知道同事的实际角色是什么，因为每个人都在做各种不同的事儿。就算你名义上是交易员，你也在做大量研究；就算你名义上是研究员，你也在写很多代码。我猜这可能是他们留存率高的离谱的部分原因。因为任何想要成长的人都有机会去做很多不同种类的事情。
好，Grant，这次我来帮你宣传。如果你想看Grant和Jane Street一些员工做的完整访谈，可以访问三B一B点CO斜杠Jane
Street。好，Grant，我们接着聊AI和数学。关于用LM来学习，你有什么建议？对我来说。很多众所周知的概念，我发现他们很有帮助，但经常是多聊几句之后，我想搞懂某个东西，结果他们自己就糊涂了，或者把我也搞糊涂了，解释的方式不对，然后我就觉得找个对的人聊三分钟就能解开我的困惑，我不知道。
然后我觉得我们会越来越想用这些东西来学习。你作为经常谈论教育、知识呈现这些话题的人。肯定有想法，所以你有没有发现什么更高效的利用它们来理解概念的方法？我很好奇你的看法。我先说说我的。即使在 L M 出现之前，我觉得学习方面一个很重要的洞见就是。要认识到跟谁学比学什么更重要。比如给任何大学生的建议，选课的时候少在意一点你预先存在的兴趣，因为那些兴趣现在多少有些随意。
多在意一点教这门课的人是不是个好老师，是不是能和你产生共鸣。我觉得在选择读什么书的时候，作者是谁可能比那是不是你之前就感兴趣的领域更重要。如果你之前喜欢某本书，就去读那个作者写的其他书，而不是去读同一主题下的另一本书。我快要说到 LLM 了，这里的区别在于，文章是由某个人刻意写出来的，他会尝试去精心构建一个动机。
而维基百科它达到的是一种局部最优解，基本上每句话都必须正确。我觉得一个好的阐述在过程中可以少在一点正确性，你可以刻意安排一些稍微有误但随后会纠正的内容。对，而这种东西在众包环境里是会被编辑掉的。所以，L M 的解释目前给我的感觉很像维基百科，这当然很了不起。想象一下没有维基百科之前的世界，要花多长时间才能找到并甄别信息？
但尽管如此，维基百科页面最有用的部分是什么？往往是底部的参考文献。你看看那些关键文献，然后点进去读。实际上，有时候那样能给你一个更好的全局视角。所以我经常喜欢直接问 L M，我应该去读谁的东西？甚至我还可以具体说明我想要的学习方式。我有一次就被他忽悠了。我记得当时想学半导体之类的，我觉得这东西很视觉化，但看到的全是文字，我就问有没有什么做的特别好的可视化很棒的数学视频？
哦，不是数学，抱歉，就是那种能很好解释你正在讲的概念的可视化视频。然后 Claude 就说有啊，这里有几个排在最上面的那个，他说这是三 Blue 一 Brown 的一个视频。我当时就想，我可以保证绝对没有。不错，那确实是个真实视频，真实链接，只是把作者标错了。视频本身很好，我当时就觉得点过去看那个视频来学东西。
体验比继续跟模型来回问答要好得多，所以从这个意义上说，我基本是把它当成一个超级加强版 Google
在用，用来精准定位到对的人类写的东西。你呢？你经常跟这些打交道，你觉得最好的方式是什么？我觉得你说到点子上了。我最有收获的学习经历都是先有一个人做出来的东西，不管是一篇文章、一本书，还是一个视频。他把相关概念按正确的方式组织起来，并且一步步铺垫动机，告诉你为什么下一个概念对解决你接下来会遇到的问题很重要。
再下一个，再下一个，然后用 L M 在这本书已经搭好的枝干上做一些修剪。我最近就在读，我记得好像是你推荐过的 Steven Strogatz 那本教材《混沌》那本《混沌与非线性动力学》，我超爱那本书。对，我就在读那本，读起来简直是一种享受，就像你的视频变成了书一样，它真的太厉害了，读起来特别有意思。
我当时的学习方式是：屏幕三分之一放他在大学里的讲课录像，三分之一放教材对应部分，另外三分之一开着LM。我其实在想，如果我还在上大学。现场听这堂课，肯定完全跟不上。那些学生一定特别聪明，因为我的不停暂停、翻翻教材、跟LM聊聊，然后再继续放。但有了它来规划理解概念的正确顺序，用什么问题来激发理解一个概念的动力哦。
还有一件事，L M特别不擅长，就是真正厉害的人能做到的。你问一个问题，他会说：“其实你对这个话题的思考方式不太对，你真正该问的问题是另一个。”这些概念的正确组织方式是 X L L M 基本做不到这一点，对它太顺着你了。说到底，他们特别像那种讨好型人格，总是哦这个问题问得真深刻那种感觉。你需要把这一层剥掉。
这个观察很好，我觉得这跟心智理论有点关系，就是能意识到你问出某类问题，其实暴露了你脑子里的结构跟讲解者不一样。当然，有时候人也会做过头。我觉得真正好的老师，比如一个初中数学课堂。如果有学生问了一个问题，表明他的思考方式跟标准不一样，其实很难在当时认真对待。先别急着说我们换个思路，而是想等等，用他那个思路能不能也得出正确答案？
真正厉害的老师能像柔道一样，顺着学生那个有创意的思路借力打力，把它融进来。L M现在做不到这一点，他们不会重新框定你的问题，而是直接跑偏了。但至少可以说，这大概有三个层次，L M在第一层。好的讲解者在第二层，而那种A加级别的讲解者是能顺着你的思路借力打力，然后说哦，你这个想法在那个地方其实很有用。所以也许再过五年，LM也能做到这一点，而且做得更好。
绕一圈又回来了。你对学生有什么建议？我相信肯定有很多学生给你发邮件问这个问题。我本来对数学很感兴趣，对这个学科很有热情，但看到AI进步这么快，我不知道把它作为职业来追求还有没有意义。这不只是数学领域的问题，我相信任何看到自己领域越来越多被AI提升生产力的人都会有这个疑问。编程跟这个就很接近，你会给他们什么建议？
我给出的建议我自己都不太信，大概得先这么打个底。不过，就算在AI出现之前，我觉得对任何你想从事的工作来说，搞清楚钱从哪来，你实际在创造什么价值。以及这两者之间的联系都非常重要。我觉得大家在这方面的思考少得惊人，尤其是学生，他们所处的环境是。想学数学，往往是因为一直擅长这个，生活中也一直因为能正确完成下一步，跳过下一个关卡而获得奖励。
当他们想当数学家时，其实是想要继续做这件事儿。想着哪里能让人继续干这个，而不是去思考我在给别人创造什么价值，以及这在多大程度上是薪水流向你的原因？因为不同情况。差别很大。有些情况是非常有声望的数学家，他们在大学的存在本身就带来了品牌价值，所以大学想要他们。有些情况是NSF给你拨款，是因为大家有一种公共利益的信念，认为基础科学有价值，并且围绕这个有一套制度，还有一整套官僚体系。
试图作为我们心中公共利益的代理，然后围绕如何正确地让他们预判你的进展符合那笔资金的初衷。有一整套梵文词节，有时候就纯粹是教学，对吧？人们喜欢把孩子送到有专家授课的机构，这就是你在做的事儿。你通过作为专家提供品牌价值，然后通过当老师提供直接价值。所以，不管AI能不能证明定理，不管我们是在2016年还是2026年讨论这个问题，那些想着我要当数学家的学生，对这件事想的都太少了。
但我觉得这值得思考。对我来说。我当时也没怎么想过，基本上是误打误撞走上了这条职业道路。发现数学探索可以作为一种娱乐来变现，我很庆幸自己走对了，但这纯属意外，不是刻意规划的。我觉得如果我当时能批判性地思考一下，本可以不用靠运气，而是更有规划地做到这一点。所以回到你的问题，假设定理证明几乎完全自动化了，再假设他们还特别擅长解释，甚至能促进人类理解，我觉得数学家所扮演的很多社会角色其实变化不大，对吧？
公众仍然会觉得基础科学有价值，我们依然信任数学家的判断来决定他们的时间最好花在哪里，声望来自那个圈子内部。是其他同行说这个成果很棒，而不是那个真正懂代数数论，能理解这是个好成果的拨款申请写作者说了算。所以，关于什么构成有价值的贡献，会形成一种内部文化。也许重心会从证明定理转向写出好的定义，也许是那种博物馆策展人的思路，但你仍然会有那个圈子。
只要整个社会仍然认可基础科学这个前提。而且，如果我们处在AI带来的富足世界里，某种程度上，那个方向的资金可能会更多。至于机构因为讲师是谁而获得的声望，我其实觉得教学是后AGI时代最稳定的工作之一，因为它太依赖人与人的关系了。如果人们财富充裕，家长就愿意把钱花在好的教学和教育上，这远远超出了讲解本身。
即使LM是很好的讲解者。老师所做的是一种非常社会化的教练式的、导师式的事情，这可能是未来五十年里最稳定的职业之一。所以，就很多数学家的角色与教学重叠这一点来说，你作为想进入这个领域的学生，可以朝这个方向靠拢。实际上，我觉得应该有更多学生认真思考并重视成为一名数学教育者的想法，以及这能为下一代创造的价值。
所以，我还是那句话。我不觉得自己有资格告诉一个有志成为数学家的年轻人该如何看待未来，因为我只是个Youtuber，不在他们想进入的那个体制内。我是以局外人的视角在说，但这感觉像是普世的好建议。搞清楚钱从哪儿来，搞清楚你在其中的位置。如果你能问出这些问题，其实就已经比其他所有刚起步想当数学家的人领先好几步了。
而且说实话，我觉得在一个比较疯狂的世界里，就是五到十年内，AI不仅能解出千禧年大奖难题，还能自己提出全新的问题。开创全新的数学领域和数学对象，在那个世界里，首先物质会极度丰富，其次AI心智走得最远。视野最超越我们人类认知的领域，恰恰就是数学。到时候会有巨大的需求。AI到底看到了什么？你能解释给我们听吗？
而且这有点好笑，因为所有这些讨论其实都默认了这些东西没有实际用处，对吧？我们都没在谈这些数学成果的实际应用。所以，只要它有任何一点经济效益，你可以想象那些能理解它、能决定它该往哪个方向用的人，他们作为策展人。去判断并指挥这个能产生海生亮新数学的庞然大物，把它指向一个有用的方向。这种决策的杠杆效应会突然变得比以前大得多，经济价值也会高得多。
我能接着这个问一下吗？显然，关于AI做数学问题，不只是它能不能做。而是他做得好不好？对，或者说他做出来的东西到底有没有用？你刚才描述了群论的发展。我们当初只是想解五次多项式，想搞清楚不同函数根的一些随机性质。结果现在他在很多不同领域都有了实际应用。你能不能设想一下，如果我们真的到了一个数学被AI加速十倍甚至一百倍的世界，是会有什么了不得的事情发生，还是说我们其实会被其他领域的发展给卡住脖子？
我觉得有些领域可能会，我是说这非常不均衡，对吧？比如代数数论上的进展，感觉不太可能直接解锁什么东西，但我也说不准。我记得跟一位数学家聊过。他更多是做动力学和偏微分方程求解那块的。他提到他们团队有一些想法，我看我能不能总结对，大概就是：波音以前造飞机的方式是先造出来，然后做一堆测试，再根据测试结果拆开重装。
而他们团队基本上搞出了一些洞见，能在仿真里做更多事情，这样就不用真的去拆了重建，这给波音省了大概几十亿美元。然后波音就开始资助那个团队了。所以这个例子显然更靠近应用，因为偏微分方程本身就是那种东西。所以在那个领域的进展，你确实能想象会解锁一些东西。我不知道这算不算阶跃式的变化，但可能更多是像引擎设计会变得更流畅一点。
或者设计机翼形状时，不用跑一大堆复杂的计算流体力学仿真；又或者因为某些纯数学的洞见，能让你的流体仿真跑得更快、更高效。我猜你会看到很多很棒的渐进式改进，但数学上的巨大突破似乎不太可能立刻转化为巨大的经济突破。比如，你解开了纳维-道斯托克斯方程之类的难题，然后解锁了模拟更多东西的能力。但你很可能会在那些边缘地带看到一些有意义的，从纯数学洞见向外渗透到其他领域的成果。
而且话说回来，有大量的人在搞AI工程、物理工程、材料科学之类的东西，你不得不设想，他们应该能很好的审视AI的数学洞见。判断他们是否在某种程度上跟自己相关，所以这又是一件我不会在这里斩钉截铁做预测的事。但如果未来五年没有出现任何能直接归功于AI在数学上进展的有经济价值的改进，那会有点令人失望，也有点令人惊讶。
如果只是解决了一堆凭空想出来的问题，却没有一个真正触及物理世界，那确实挺让人失望的。对，说到你刚才那个观点，数学史上的很多工作就是不断堆叠概念和联系之类的东西。对，有时候这些堆叠的东西会互相连接起来，或者你在别的地方发现了它的应用，至少你建起了一个巨大的知识堆。然后，随着社会在起点中取得更广泛的进步，当我们进入起点的工业化阶段时，你手里就有了所有这些不同的想法。
希望他们能在世界的其他地方派上用场。对，就像我说的，现在发生的事儿有一个有意思的地方，就是它会让人退一步问：数学到底是什么？也许其中一个让人尴尬的结论会是。天哪！过去这些年来，数学已经变得完全没用了。大家问的那些问题已经跟物理上能应用的东西脱节得太厉害。这可能是数学家们不得不面对的一件事。到时候所有人都会看着说：“等一下，你们不是应该……如果那边进展快了十倍，为什么我们在这边看不到？
”然后每次我们写基金申请书，说相信我，椭圆曲线的进展会帮助密码学的时候，这件事儿就会照出一束光。让人看清，也许他其实帮不上，这是一种可能性。Grant这次聊得特别开心，非常感谢你来，绝对的，我的荣幸。