本节关于数学物理课程。我是来自慕尼黑工业大学的Monika Vanzel，我非常高兴介绍来自佐治亚理工学院的Michael Loss。迈克尔·洛斯于1982年在苏黎世联邦理工学院获得博士学位。他是一位杰出的数学物理学家，获得了许多奖项，其中包括他是美国数学会的会士，也是智利科学院的外籍通讯院士。
他获得了洪堡奖，很高兴介绍他的演讲。他将发表题为“Kac模型：主题变奏”的讲座。谢谢Simone。首先，我想将这次演讲献给Maria C. Carvalho的记忆。她是我的一位好朋友，我和她的丈夫Eric Holland与她一起撰写了许多论文，她在去年这个时候去世。
我要讨论的工作只是对我们多年来所做事情的一个概述，这些工作是与Eric Carlin、Maria Carvalho以及我在佐治亚理工学院的一位同事Federico Bonetto共同完成的。好的，Kac模型是一个简单的模型，我强调“简单”这个词。它基于概率假设，其目的是理解经历成对碰撞的粒子系统演化的某些方面。
特别是，人们通常在均匀情况下研究这一点。这是一种巨大的简化。但在某种意义上，这正是该模型的魅力所在。因此，我们可以研究的是，当然，尝试对空间均匀的玻尔兹曼方程进行简单推导，并 formulate 趋近平衡的问题。这在某种意义上是Kac创建该模型时的目标。
这里有一个非常简单的一维模型。它是针对一维碰撞粒子的概率模型，基于Kac在1956年的工作。故事很简单：你随机且均匀地选取一对粒子，然后随机选择一个散射角，并以均匀概率进行。
接着你取这一对速度 $v_i, v_j$（即第i个和第j个粒子的两个速度），并通过旋转来更新这些速度。这在某种意义上是很自然的事情，因为它保持了动能。当然，你需要做的是给它们一定的时间演化，方法是假设这些粒子独立碰撞，并与之关联一个参数为 $\lambda$ 的指数随机变量 $T_{ij}$。
这个有趣的数字可以写成 $2/(n-1)$。这里的要点很简单：这看起来有点复杂，但它的意思是单个粒子与其他所有粒子的碰撞速率是一阶的。你可以忽略因子2，这里是 $1/(n-1)$，这是合理的，好吗？
这纯粹是该模型的概率方面。但你实际上可以将其转化为分析学方法。你可以通过写出主方程来实现这一点。与该过程相关的主方程如下：有一个分布，记住这个分布实际上只依赖于速度 $v_1, \dots, v_j, \dots, v_n$ 以及时间。
然后你有一个这个半群的生成元，记为 $L_n$，即 $n \times I - Q_n$，其中 $Q_n$ 是这个平均算子。你看这里很简单：你在速度空间中看平面ij，然后进行随机旋转并对所有旋转角度取平均。
你可能会问为什么只保持动能？为什么不也保持动量？在一维情况下，如果同时保持动能和动量，粒子只有两种选择：要么穿过彼此保持速度不变，要么交换它们的速度。除此之外没有其他情况发生，这对我们的目的来说并不那么有趣。特别是，你可能在试图理解趋近平衡时遇到问题，这在这里没有意义。
好的，所以在某种意义上，这个算子 $L_n$ 非常简单。我应该说它简单得令人惊讶（desatively simple），然后可以问各种问题。第一个问题是……这里有一个总结，对吧？能量是守恒的。当你有对称分布时，我们通常看那些变量是对称的情况（即函数关于其变量对称）。
那么时间演化后的分布也是对称的，另一个很好的性质是这个算子 $L_n$ 在希尔伯特空间 $L^2(S^{n-1}, \sigma^n)$（其中 $\sigma$ 是归一化面积测度）上是自伴的。
看，E是总能量，合理地假设每个粒子的能量是一阶的，这就是我们称之为 $n$ 的原因。顺便说一下，我们在后面使用的内积符号记为 $\langle f, g \rangle$，像往常一样。
这还不是整个模型，对吧？现在问题来了：你能用它做什么？Kac做的第一件事是“混沌传播”的概念。换句话说，他的目标是从这个简单的概率模型中推导出玻尔兹曼方程（至少在空间均匀情况下）。
正如你可以轻易确信的那样，如果你从球面上的函数乘积开始，你会发现变量 $v_1, \dots, v_n$ 不是独立的。它们的平方和必须等于n（总能量守恒）。所以你实际上没有独立性，演化也不尊重任何独立性。
但它可能做的是尊重渐近独立性。这就是我们现在所知的“混沌”概念。那么它是什么呢？你有一个在 $L^1$ 中给定的函数 $f$。
你想一想一个依赖于变量 $v_1, \dots, v_n$ 的函数序列 $f_n$。换句话说，这是一个随着n增加而变量越来越多的函数序列。现在我们说这个序列 $f_n$ 是混沌的，如果对于任何自然数k和任何从 $\mathbb{R}^k$ 到 $\mathbb{R}$ 的有界连续函数，这个极限存在。
好的，所以你对球面上的所有变量进行积分，乘以只依赖于k个变量的 $\phi$，然后取n趋于无穷大的极限。这个极限应该存在，而且对于任何有界连续函数（即这些f的乘积），该极限应该是相同的。
这意味着，渐近而言，$f_n$ 是独立的。好的，这里有一个著名的例子：取函数 $1/L_1^{n-1}$ 乘以 $\sqrt{n}$。这是半径，对吧？这相对于高斯分布是混沌的。这是一个古老的结果，法国人称之为巴拿赫球面（Banach sphere），英国人称为麦克斯韦定理。无论如何，这是一个非常简单的计算，我强烈建议你在有生之年至少做一次这个计算。好的，这就是混沌，我们称之为：如果上述极限成立，我们就称 $f_n$ 为相对于 $f$ 的混沌序列。
那么，关于这一点我们能说些什么呢？这是 Kac 的一个定理，内容如下：如果你从一个混沌的初始条件开始，即 $f_0$ 是混沌的。好的，所以 $f_0$ 可以是 $L_1$ 中的任何函数。你可以很容易地构造出这样的混沌序列，这并不困难。然后他证明的是，当你用 Kac 模型的完整时间演化来演进这个 $f_n(0)$ 时，得到的函数仍然是混沌的。并且它具有矩（moment）。我的意思是，我应该说是第一边缘分布 $f_t$，而这个 $f_t$ 现在是 Kac-Boltzmann 方程的解，我已经把它写在这里了。
你会发现这是一个实际上是非线性的方程。之所以非线性，是因为这里真正应该出现的是两粒子边缘分布。但当然，当 $n$ 趋于无穷大的极限下，这个两粒子边缘分布实际上会分解（factorizes），从而给出你这个 Boltzmann 方程。现在，这是一个有趣的结果，因为求解 Boltzmann 方程的方法是：你从初始条件出发，构造一个混沌序列 $f_n(0)$，然后观察 Kac 方程（即主方程）的解。这再次给出了这个边缘分布 $f(t)$，并且你知道这个边缘分布 $f(t)$ 是 Boltzmann 方程的解。
当然，这并没有告诉你关于唯一性的任何信息，但这是一个很好的结果，它让你非常简单地理解 Boltzmann 方程是如何从一个模型中产生的。当你观察这个主方程时，它实际上是线性的，对吧？好的，很好。那么另一个问题是趋向平衡态的过程（approach to equilibrium）。所以如果你从一个初始条件为零开始，这是一个球面上的概率分布，并且你演进它，那么很容易看出当 $t$ 趋于无穷大时，这收敛于球面上的函数 $1$。
这就是我们所说的趋向平衡态。你如何以定量的方式衡量这种趋向平衡的过程呢？一种方法是观察谱隙（spectral gap）。你看，这个演化中 $L_n$ 是一个自伴算子，所以 $e^{-L_n t}$ 也是自伴算子。因此，利用谱定理和谱隙告诉你 $L_2$ 范数——我的意思是，你取 $f$ 减去当 $t$ 趋于无穷大时的极限——这个 $L_2$ 范数以 $\delta_n$ 为指数因子快速衰减。
而 $\delta_n$ 是第二个特征值。你看，第一个（最低）特征是零，然后下一个是 $\delta_n$。你也可以用我在这里描述的方式来表述它，即对所有归一化且与 $1$ 正交的函数取典型期望值下确界。Kac 在那些日子里，即一九五六年，猜想这个隙 $\delta_n$ 应该有一个严格为正、与 $n$ 无关的普适常数 $c$ 作为下界。这就是关键点所在。
证明这一点花了一些时间，首先由 Elie Jean Vresse 在 1999 年使用 Hong Chao 的鞅方法证明，然后我和 Eric Carlen、Maria Carvalho 一起设法证明了该隙实际上就是这个数值。这非常简单。Maslener 还应该提到，他还计算了关于这个演化的许多更多性质。好的。你可以清楚地看到，这被 $1/2$ 所界定（bounded below by one half）。所以这是 Kac 猜想的证明。
这是一个非常简单的模型，当然下一个问题是：你能让它更现实吗？一个步骤是采用硬球碰撞。所以现在我们不再谈论一维问题，而是讨论真正三维的动量和能量守恒碰撞。因此速度空间现在不再仅由能量表征，还由总动量 $p$ 表征。我在这里写的是平均动能 $e$ 和总动量的平均值，即总动量除以 $n$ 等于 $p$。所以人们应该这样想象：速度空间在 $\mathbb{R}^{3n}$ 中，然后能量给出了一个球面。
这是一个 $\mathbb{R}^{3n}$ 中的 $3n-1$ 维球面，然后动量做的是用三个额外的平面切出另一个球面。这在 $\mathbb{R}^{3n}$ 空间中有点扭曲（crooked）。现在这次，当然因为我们在模拟硬球碰撞，你必须做的是过程现在是不同的。这个参数将取决于速度差。所以再次地，你有一个像以前一样的指数随机变量 $T_{ij}$。这是第一次碰撞时间，而参数现在由这个奇怪的物体给出：$|v_i - v_j|$。如果这里没有它，你最终会得到原始模型。
现在你必须大致说明跳跃过程是什么。在跳跃时间 $t$，在所有这些 $T_{ij}$ 中提供最小值的对 $(i, j)$。然后过程从 $v_1$ 到 $v_n$（即所有速度）跳跃到一个新的速度集合，并且所有这些速度 $v_1, v_2$ 等等保持不变，除了 $v_i$ 和 $v_j$ 改变，并且它们以这种特定方式改变。你可以很容易地检查：显然动量是守恒的，你也可以轻松验证动能也是守恒的，当然前提是你知道 $\sigma$ 是一个单位向量。
问题的关键在于你如何选择 $\sigma$。$\sigma$ 现在在时间 $t$ 均匀选择，然后过程执行一个碰撞步骤，其中 $v_i^$ 和 $v_j^$ 由这个表达式给出。顺便说一下，这实际上模拟了硬球碰撞。这是一种奇怪的参数化方式。有不同的参数化方式更流行于物理文献中，但这对我们的目的非常方便。好的，所以这就是过程，现在你当然可以写出一个生成元（generator）。
生成元看起来像这样。它再次与我们之前拥有的一样，除了你现在在这里有 $|v_i - v_j|$ 的大小。而括号中的 $f_{ij}$ 是什么？那只是对 $r$（即 $\sigma$）的积分。
j sigma v d sigma。这是什么 r i j？它保持所有不等于 i 和 j 的 k 的速度不变，并改变它们。它取 v_i^(sigma) 和 v_j^(sigma)，并在球面 S² 上对 sigma 进行积分。顺便说一下，这个 sigma 当然是一个概率测度。好的。所以这是生成元，而这个编码了一切。
你可以写下主方程，任何你心之所想的东西。我还应该说，混沌传播要困难得多，这是由 Muhar 和 Mishler 在 2011 年实现的。之所以困难得多，是因为你可以看到 v_i - v_j 可以非常大。这个差异可以达到根号 n 的量级。现在，混沌传播意味着你关于当 n 趋于无穷时的极限做出陈述。
因此你必须谈论无界的东西，这使得问题非常困难。顺便说一下，我还应该提到 Muoh 和 Mishler 在 2011 年证明了许多更多的东西。他们证明了关于时间一致的定量混沌传播，但他们使用了 Wasserstein 距离。他们还证明了熵混沌的传播，其中你取 f_n 相对于 gamma 的相对
熵。我稍后会解释这些事情。你取平均值；这将收敛到相对于 gamma 的边缘分布。我必须稍后解释这一点。他们还提供了关于弛豫时间的定量估计，与粒子数无关。所以这是一项非常美丽的作品，但它的 approach 与我们所采取的不同。
好的，很好。那么现在让我们继续探讨间隙会发生什么。对于三维动量守恒碰撞来说，能隙是一个更加困难的问题。对吧？同样，你可以看到零是 L_n 的非退化特征值。能隙 delta_n，它依赖于能量和 p，当然由 L_n 的第一个严格正特征值决定。
这是一个你可以做的非常简单的计算。也就是说，你可以对这个东西进行归一化。具体来说，你可以将能量 e 和 p 处的能隙与能量为 1 且为零时的能隙联系起来。但你这里有这个前置因子，这相当令人满意。在 2020 年，Eric Harlan、Maria Koval 和我设法证明存在一个严格正的常数，在某种意义上它是显式可计算的。
因此能隙由这个常数下界界定，好吧，与 n 无关。当然重点在于，我说它是显式可计算的。这不是一个紧性论证。所以有一个过程，它非常复杂，原则上正如我所说的，你可以计算这个常数。不用说，这个问题比之前的一维问题要难得多得多，我们总共花了大约五十页的篇幅。
所以这很难，但至少我们现在知道了这一点。太好了，这里还有另一个观点，即能隙通常不是衡量趋近平衡速率的一个很好的指标。好吧，为什么呢？你看，取 L1 交 L2 中的任何函数，想象这个函数看起来或多或少像一个乘积函数。那么很容易看出该函数的 L2 范数随 n 指数增长，
像 c^n，其中 c 是一个严格大于一的数字。所以这真的不是一个好的度量标准，对吧？因为当你有 c^n 时，你需要在时间上将其降低到某个一阶项的量级，这需要 n 量级的时间，这当然可能是宇宙的年龄，对于这里的所有实际目的来说都是无关紧要的。所以，
你真正想要做的是用相对熵来衡量一切。现在，相对熵我称之为 H。这实际上不是熵，因为符号错了，这就是我称它为 H 的原因。所以 h 是正的，现在它将减少到零。对吧，这就是那种想法。
好的，所以定义如下：你在球面上积分 f log(f/g)，其中 g 是某个参考状态。同样，我在这里对球面上的面积分进行积分，顺便说一下，这总是归一化为 1。现在你要看的第一件事是如果你想理解这个量随时间如何减少，那么你首先做的当然是选择 g 为 1，
对吧？因为那是你衰减到的状态。如果 f 与 g 相同，显然得到零。然后你对相对熵关于时间求导，你得到一个负的表达式。所以你改变符号，这个表达式现在是非负的，你称之为耗散。在我们的情况下，当 L_n 是生成元时，这就是那个表达式
现在熵产生定义如下：你取耗散并除以状态 f_n 的熵，然后对所有这样的函数 f_n 取下确界。显然，当你从 f_0 开始并让它沿着 Kac 演化时，你得到 h(f(t)) 小于或等于 e^(-gamma_n t) 乘以原始熵。
当然，很高兴看到 gamma_n 是否依赖于 n，以及它是如何依赖的，希望它不依赖于 n。不幸的是，这是坏消息。它确实依赖于 n。所以在 2003 年有一个由 Cedric Villani 提出的定理，他证明对于一维 Kac 演化，熵产生大于或等于二除以 n 减一。
现在你可以说，嗯，这也许太小了，对吧？但事实证明 Amit Aminoff 在 2011 年有一个定理，他表明对于任何 epsilon，你可以找到一个有 n 个粒子的状态 f_epsilon，使得耗散与熵的比率界限 gamma_n，而这个数字小于常数 c_epsilon 除以 n 的一减 epsilon。所以对于所有实际目的来说，
熵产生就像是以一/n 的速度变化。当然，这并没有真正告诉你这里的行为是正确的。你看，可能发生的情况是对于一阶的时间长度，一切保持平坦，对吧？非常平。几乎没有随时间的衰减，然后突然接管过来，你有一个漂亮的指数衰减和一个很好的速率。怎么样？所以这完全
未知是否会发生这种情况。但我个人认为它不会，了解 Ennaff 的这个结果是如何产生的很有启发性，即他取了一个状态，他将几乎所有的能量打包在粒子的一小部分中，所以它是一个大的粒子集合没有能量。现在发生的是这些有能量的粒子
所有的能量都必须传递给其他粒子，并最终驱动系统达到平衡状态，而这需要耗费极其漫长的时间。我认为这大概是正确的图景。换句话说，当我们面对极端的初始条件时，即使在现实情况下，我也想象我们需要等待非常长的时间才能达到平衡。
因此，在与 Federico Bonetto 讨论后，我们提出了处理该问题的不同思路。即研究与有限热库相互作用的系统。我们将趋近平衡的过程设想如下：我们有一个处于平衡态的大系统，向其附加一个未处于平衡态的小系统。然后观察这个小系统的熵会发生什么变化。
我们的方法是采用如下形式的主方程。这里有一个系统生成元，该系统像 Kac 模型一样独立运行。接着是热库部分，这也类似于一个 Kac 模型。起初这两者并不相互作用，但现在让它们以这种方式进行交互：让系统的粒子与热库中的粒子相互碰撞。
设定这一机制时，我们要确保碰撞率的数量级为一，这里记为 $\mu$。当你从系统中取一个粒子时，它有 $n$ 个热库粒子可供碰撞，因此我们要除以 $n$ 进行平均，使得该粒子的碰撞率为 $\mu/n$。
当然，现在的演化作用于依赖于系统速度和热库速度的函数。为了简化起见，我们现在取 $L^1$ 空间中的函数，而不再局限于球面。这在某种程度上太复杂了。这就是我们的系统和演化过程。那么初始条件是什么呢？
热库最初应处于平衡态，这由高斯分布描述。很抱歉，我在这里选择放入一个 $\pi$ 因子。你可以按任意方式设定温度，那只是一个常数。我们要取的是归一化高斯分布，温度为 $1/(2\pi)$，这样写起来更简单。
这是热库部分。在 $t=0$ 时刻，这是系统的初始分布 $f_0(v)$。现在让这个过程随时间演化运行。我们要对所有热库变量进行积分，因为那并不太有趣，我们其实不关心热库的具体情况。
这就给出了一个仅依赖于系统速度的函数，现在我们考察该分布 $f$ 相对于高斯分布 $e^{-\pi v^2}$ 的熵。这就是这里提到的那个量。当然，你期望的是如果将 $f(v,t)$ 代入该表达式，它会衰减。确实如此。
它是如何衰减的呢？假设初始条件的熵是有限的（即这里的表达式），那么你可以说在时间 $t$ 后，$H(f_t)$ 小于或等于这里的量乘以初始熵 $H(f_0)$。
这个因子是什么？这里我们有 $m/(n+m)$ 和 $n/(n+m)$。这是一个凸组合，并且包含一个指数项。顺便注意到，当 $n$ 非常大时，这收敛于 $\mu/2$。所以这是一个固定的速率。
换句话说，我们可以通过相互作用项得出结论：尽管随时间推移热库中会建立相关性，但熵仍然会衰减。然而，经过有限的时间后，热库将不再处于平衡态，但情况并不太糟。如果 $n$ 远大于 $m$（即非常可变），系统的熵将以数量级为一的指数速率衰减到一个很小的值。
这里这个数非常小，记住 $n$ 远大于 $m$。这几乎是一，并以指数速率趋向于这个微小的数值。你可能会问，这个数是否实际上应该为零？答案是否定的。为什么？因为高斯分布 $e^{-\pi v^2}$ 并不是平衡态，你可以很容易地检查出它通常不是。
顺便还可以证明，信息量——即这里提到的那个量：取 $f^2/f$ 的梯度，与高斯分布积分——具有完全相同的衰减行为。这是 Federico Bonetto、Han Rui 和我本人的结果。有趣的是，证明非常简单。
此外，这一事实也暗示了前面那个我们费很大劲才证明的结果（使用了 Brascamp-Lieb 不等式等）。但利用信息量，这个结果可以容易得多地推导出来。所以在某种意义上这是一个令人满意的结果：熵虽然不衰减到零，但会变得非常小。
现在让我谈谈关于 Kac 模型的另一个主题：量子主方程。我们可以为量子系统建立类似于我们在 Kac 系统中使用的方案。当然，我们从单粒子希尔伯特空间开始，假设它是有限维的。
还需要指定单粒子的能量，即作为该希尔伯特空间上自伴算符的单粒子哈密顿量。假设它具有特征值 $e_1$ 到 $e_d$ 和对应的特征向量 $\phi_1$ 到 $\phi_d$。
那么，你的 $n$ 粒子希尔伯特空间可以说是配置空间（更准确地说是速度空间），在我们的情况下对应于 $L^2$。而哈密顿量，即多粒子哈密顿量，对应于能量，如前所述，是 $v_j^2$ 之和。
$v_j^2$（顺便说一下）是具有对应关系 $H$ 的单粒子能量。那么你会问，如何在这个问题上构建演化呢？你需要指定所谓的二元碰撞。
你取一个算子 $Q$，它做什么呢？它将两粒子空间上的算符映射到两粒子空间上的算符。我为什么要谈论算子？因为在量子力学中描述系统时，你是通过密度矩阵来描述的。
这是一个密度矩阵；它是 $H_2$ 上的正算子，且其迹为一。而 $Q$ 应该做的是……
应将密度矩阵映射为密度矩阵。我们希望它保持能量，并且应该是完全正定的。这是出于期望，因为这使其成为可行的量子演化。我们还希望它是自伴的，这对进行分析非常有益。这里的自伴意味着如下情况：你拥有由迹给出的内积，且 Q(A, B) 应与 (A, QB) 相同。因此，你本质上被推向以下方式来写出碰撞算子：即对某个测度空间 C 进行积分，带有概率测 dμ(σ)，这些 σ 是酉算子，而 A 是希尔伯特空间 H² 上的任意算子。
那么关于 C 和 U 的期望是什么？即，U 应该是 H⊗H 中的酉算子集合。现在，能量被保持意味着它应该与两个粒子的哈密顿量对易。这是第一件事。现在，为了使其自伴，你需要集合 {σ | σ∈C} 和 {U*σU | σ∈C} 是相同的集合。并且将 σ 映射到保持此关系的 σ' 的映射应该是可测的，并保留新不变量。一旦施加这一点，你立刻看到这种形式是自伴的。这很容易。
现在还有另一件小事需要担心，即：当你有两个粒子碰撞时，它看起来是对称的。因此，当粒子一与粒子二碰撞时，应该等同于粒子二与粒子一碰撞。所以你需要一个交换操作，它只是交换张量积中的因子。而你需要的又是这个 U(σ)，即 C 中的算子集合是相同的，并且映射 σ→σ' 应该是可测的并保留不变量。好的，所以你可以这样做。让我给你一个例子，是的，也许我还应该说什么是 Nagodic 碰撞规范（collision specification）。
你看，很容易看出由 H² 的谱投影生成的代数。这是什么？这本质上是所有关于 H² 的连续函数的代数，你可以轻松检查该代数与 U(σ) 对易。换句话说，对于所有 σ，它在 U(σ) 的交换子中。当然，一般来说，交换子更大。但现在我们要求使这个碰撞规范成为 Nagodic 的（Godic）。我们要求此交换子等于由 H² 的谱投影生成的代数。
换句话说，这些算子必须足够丰富，以便你可以进行合理定义良好的分析。好的。由于这非常复杂，我举一个例子。让我们取 H 为 C²。那么 Hⁿ 是 n 重张量积。我们取最简单的哈密顿量，其特征值为零和一。那么 Hⁿ 的特征值从零到 n，当然具有一定的重数。这里是 H²。我已经写下来了。这是张量积：这个家伙与一，再张量另一个家伙。这给出了矩阵。特征值显然是零、一、二。
你看，零是单重的，二是单重特征值，而一是双重特征值。谱投影就是这里列出的那些。这完全明显，好吗？很好。然后你必须处理酉算子。我们要选择的是，我们将 C 选为四维单位球面的四重积。我们这样描述 σ：e^(iφ), e^(iθ), e^(iψ), e^(iη)。然后我们这样选择 U(σ)。好的，你看这在某种意义上是一个一般的 2x2 酉算子，而这里你只有相位因子。尽管它们是独立的，好吗？
对于 no（注：此处原文似为口误或特定术语），你在该四维球面积的空间上选择均匀概率测度。好的，所以这给出了一个碰撞规范。它是遍历的吗？这是一个你可以做的简单计算。你取 Q(A)，进行计算，当你这样做时，在其中插入任意 4x4 矩阵算子 A，你会得到对角线。你容易看到的是，这 precisely 是 A₁₁P₀ + (A₂₂+A₃₃)/2 P₁ + A₄₄P₂。所以这在代数 A₂ 中，即谱投影的代数。
因此你可以说 Q(A)，σ, σ' 的交换子是什么？它当然是所有被 Q(A) 保持不变的算子 A。那等于 A₂，因此这个 Nagodic（Godic）碰撞规范是 Godic 的。所以这很容易。很好。所以现在你可以构建一个量子 Kac 算子。你是如何做的？好吧，我们定义了 Qs，对吧？在这里是 Qij。现在你要做的是选择 Qij 为我们之前定义的算子。像这里一样，除了 uij 仅在因子 i 和 j 上非平凡地作用。
所以你必须想象有一个 n 重张量积。除了因子 i 和 j 之外的所有其他因子都保持为恒等，但在 i 和 j 上它以非平凡方式作用，如我们之前所描述的那样。好的？所以这给出了 Qij(A)，现在 A 是 Hⁿ 上有界算子的元素。这里是 Qn，它是求和。好的，你看这与我们对 Kac 所做的完全相同，只不过现在是在量子力学背景下。你实际上可以证明几件事。Qij 当然保持正性；它们保持迹。
而且 QIJ(单位元) = 单位元，这被称为量子马尔可夫算子。限制在密度矩阵上，这在量子信息社区中也被称为量子操作（quantum operation）。现在你可以再次写下关于密度矩阵的 L_n 量子主方程。ρ 是密度矩阵。它写在这里。当然，它生成一个完全正定、保持迹的半群。这很容易看出，你只需通过指数化 L_n 即可求解它。记住，L_n 只是 Hⁿ 上有界算子空间上的线性算子。所以在原则上这很容易。
当然，如果你想更详细地了解这个事物在做什么，那就困难得多了，对吧？例如，混沌的传播（propagation of chaos），以及什么是量子 Kardar-Parisi 方程？那么你将如何定义这个呢？首先你必须知道什么是对称密度矩阵。是的，当你可以交换因子而不改变 ρⁿ 时，ρⁿ 是对称的。然后你定义单粒子边缘分布（one particle marginal）。
对除第一个因子外的所有因子取迹，并假设我忘记在这里加上一个n，即该极限存在且为单粒子密度矩阵。同样地，当你从k加1一直取迹到n时，你应该得到这些密度矩阵的张量积。然后，如前所述，你可以证明这种由演化方程给出的时间演化的P和T实际上传播了混沌。好的，我已经在这里写下来了。但让我指出更有趣的一点：这个T的演化做了什么？
事实证明，T的演化满足一个非线性Kac-Boltzmann方程。我已经把它写在这里了，其中a星b被称为量子野卷积（quantum wild convolution）。它由这里的这个结构给出。好的，现在我明白这有点快，但我真的没有太多时间再解释所有这些内容了。其中一些内容实际上会写在会议录中。好的，所以这运作得相当不错。证明有点棘手，但实际上很自然。
现在让我指出一个我们最近想到的新概念，即邻接图（adjacency graph）。请看以下情况：假设你从一个处于N粒子希尔伯特空间的状态psi alpha开始，然后你可以构造出这个密度矩阵Psi alpha, psi alpha。在一次碰撞后，你得到了什么？嗯，你会发现这次新的密度矩阵由特征态组成，这些特征态是形如psi gamma的线性组合。
其中只有两个索引发生了改变，对吧？所有与alpha l相同的索引在psi gamma中都与alpha l相同，除了l等于i和j时，情况发生了交换。好的。或者换种说法说，在这个过程中，两个索引被交换了。因此，当alpha等于beta l且alpha i等于beta j以及beta i等于alpha j时，当然alpha和beta仅相差一个对换。
这个图被称为我们称之为邻接图的图，该图的边集称为E n。因此，如果两个索引仅相差一个对换，则它们是相邻的。记住这些索引是该空间中的n元组。每个alpha i取值从1到d，好吗？这里有一个例子。在我们有哈密顿量零和一的例子中，
事实证明这个图是一个正则图。边的数量在这里给出，顶点的数量也在这里给出，甚至顶点的度数也是已知的。顺便说一下，它仅取决于零的数量。你还记得alpha现在由零和一组成吗？这些是我们拥有的唯一能量，它仅取决于零的数量。并且
零的数量加上1的数量必须加起来等于n。好的，所以这是一个例子。但是，有趣的是，如果你想理解平衡态，平衡态由密度矩阵在这些算子的交换子下的投影给出。事实证明这些平衡态与这个图G n的连通分量之间存在一一对应关系，你可以按以下方式写出它们。
P j这个投影以这种方式给出，其中alpha这些索引这些多重索引位于该图的连通分量中。好的。现在最后一件事在这里。我应该说，可以做很多事情。特别是可以证明在某些情况下，例如
当哈密顿量的特征值是有理无关时，那么这个交换子实际上等于由哈密顿量Hn谱投影组成的代数。这是你可以做的一件事。你还可以证明关于极限演化的其他几件事，但你已经没有时间做了。无论如何，感谢你的关注，这就是结束部分。谢谢
非常感谢你，迈克尔。不幸的是没有时间进行问答环节，但如果通过电子邮件联系他，迈克尔·洛斯非常乐意回答任何问题。谢谢。