好，那我们来聊聊这个。感觉整个数学圈都像炸锅了一样，都在讨论 AI 在数学里的事。我已经想这件事很久很久了。所以我上周发了个帖子，征集大家关于这件事的问题，我看到很多评论都是学生发的，可能是博士生或者本科生，他们本来打算进入数学或者相关的理论领域，基本上就是在说，我到底该怎么办？当前途看起来这么不确定的时候，我接下来到底该怎么办？你也知道，现在很多人害怕数学已经死了，或者数学已经被解决了，或者就算你不信这些，也会觉得数学将来会变成的那个样子很糟糕，或者根本不是你想做的东西。
我也和很多不同的教授聊过，他们基本上都是摊手说，我到底该跟我的学生说什么，我现在该怎么给他们建议。所以我想这期视频就聚焦在我看到的一条特别有代表性的评论上，它很能代表很多其他人的想法。我是个数学博士，直接告诉我明天该做什么吧。所以我想提出这样一个观点，也想看看你同不同意：现在是进入数学最好的时候，也是资助数学最好的时候。
也许我们在这个时刻会看到的最激进的变化，是我们分配学术贡献的方式会被重新定义，但数学这个体系本身，以及数学到底是什么，反而会出人意料地几乎不受影响。哪怕是在一个假设性的未来里，机器能做到数学家现在能做的任何事，而且还做得更好。这期视频的第一部分，我想先搭一个框架，讲讲我是怎么想这件事的：我们先把数学家所做的所有事情都列出来。
再把数学对世界有价值的所有方式都列出来，然后再想想钱是从哪里来的，以及后面这两者之间是怎么关联的。我觉得这是个对任何职业都很有用的思考练习，不管有没有 AI 都一样。但一旦 AI 被拉进讨论里，你能做的就是，你能拿任何职业来这样想。不管有没有 AI 都可以，但一旦 AI 进入讨论，你能做的就是，你能拿任何职业都这样想。
你能做的，就是去问：假设机器在这些任务中的每一项上都比人更强，甚至可能在所有任务上都更强呢？会发生什么？我当然没法声称自己能准确预测到底会发生什么。我想给我在这期视频里说的话都留出非常大的误差空间。但大体上，我还是想尽可能真诚地试着把这个问题想透，然后带着你一起想。
顺便说一句，也许值得先说明一下：我自己其实并没有什么立场一定希望更多人去走学术这条路。学术数学。事实上，如果真要说的话，有一段时间我一直觉得，也许有太多学生是出于错误的原因去读博士的。你知道，如果你一直都喜欢上学，而且也很擅长上学，那继续待在某种学校体系里会让人感觉很舒服。而博士项目多少也像是这种状态的延续。
而你真正该问的是，你想怎样给这个世界上的其他人创造价值，以及你怎么利用和发展自己的技能，才能更好地做到这一点。也许学术研究就是实现这个目标的方式，但也可能不是。而且提出这个问题很重要。比如说，现在有很多人因为眼下这个局面离开学术界，他们这么做，是因为觉得自己最该投入去做的事是 AI 安全。如果你是这样，那很好，去做吧。跑，跑，跑。
但我现在最想对话的，主要是那些因为害怕而考虑离开的人，是因为害怕这条职业道路会不存在，或者害怕它会变成一种自己不会喜欢的样子。总之，因为我真的相信，它不但会继续存在，而且很可能会变得非常有用，也许比以往任何时候都更有用。同时也依然会带来快乐。
好，那首先，数学研究到底包含些什么？最明显的一项当然是证明定理。很多人确实把大量时间花在这上面。你也听过那种老梗，说数学家就是把咖啡变成定理的机器。但其实大家早就知道，而且现在讨论里也特别强调的一点是，那绝不是全部。离全部还差得远呢。关于这件事，有句挺妙的话：好的数学家证明定理，伟大的数学家提出猜想。最伟大的数学家写下定义。
所以这个也完全可以加进我们的清单里。你看，除了证明定理之外，还有一个任务是判断，到底什么问题值得去问。这里面其实很讲品味。要有一种感觉，能判断一个想法是不是有趣到足以产出好的数学。然后，比起说“写定义”，我更想直接把第三类称作“构建理论”。你可能已经证明了一堆定理，或者对哪些问题值得问已经有了一些判断。但我们真正想从中得到的，其实是一种更宽广的理解：这里到底真正发生了什么。
比如笛卡尔引入解析几何坐标的时候，重点并不在于回答了某一个具体问题，而是提供了整整一套思考框架。再比如伽罗瓦当年引入群论最初的种子，那件事的重要性其实跟五次方程不可解本身没那么大关系。真正重要的是，它提供了一种全新的方式去理解当时发生的事情，而这后来催生出了数学中一大片极其繁盛的领域。并且在之后的几个世纪里都非常有用。我觉得格罗滕迪克也是这方面一个很好的例子。
他很喜欢用各种比喻来说话，其中一个是这样的：如果你想从一座山顶到另一座山顶，一种办法是把所有问题都一个个解决掉——先下山，再爬上另一座山；另一种办法则是让海水慢慢上涨，把两座山之间都托起来。这样你就可以直接从一座山顶航行到另一座山顶。而这里“上涨的海水”这个比喻，差不多就是你建立起来的整套理论——不一定是在证明某一个具体定理。而是在提供一种更深层、整体性的理解，去理解这里面到底真正发生了什么。还有一个部分就是应用。
弄清楚这些抽象的东西，究竟可以怎样接到科学和工程里面去。而在所有这些类别里，另一个默认存在的重要部分，显然就是把你做了什么清楚地传达给别人。这不只是把一个证明一股脑倒出来，而是要给出一种有合理动机的讲解，让人明白那到底是什么。同样，在构建理论的时候，也不只是把一堆定义罗列出来。真正厉害的数学家会很有效地传达：为什么这些结构值得我们去认真对待，并且试着把他们在这方面的品味也传递出来。
说到价值体现在哪，最明显的一项当然还是应用，也就是它跟科学和工程的关联。而且至少在纯数学这边，大家在申请经费时最爱写的一点就是：这些应用有时候会来得非常下游。可能要到几十年、甚至几百年以后才显现出来。比如说，举几个经典例子，1500年代有一群意大利人在研究怎么解三次方程。其中一个很奇怪但好用的办法，就是认真对待负数的平方根。
把围绕这个建立起来的理论认真地往后推进几个世纪，你就会得到虚数。而虚数是量子力学、电气工程、研究波动，还有几乎一切领域里的关键组成部分。还有，围绕欧几里得第五公设提出的问题，促使人们发展出了非欧几何……最后你会走到广义相对论；又或者，对费马大定理的追求，催生了围绕代数几何和椭圆曲线这类东西的一整套优美理论。而这些东西后来又出人意料地在密码学里派上了用场。这样的例子多到数不清，大家也特别喜欢列这种清单。
不过，数学价值的另一部分，并不主要体现在社会层面的应用上，而是在个人层面：做数学、经历一部分数学家的训练。会让你获得一整套解决问题的能力，而这些能力看起来是很容易迁移、在别的地方也很好用的。所以经济里的很多其他领域——比如去做计算机科学、机器学习研究、现在很火的AI安全、金融、密码学，或者其他各种方向的人——里面都有很多受过大量数学训练的人。也许他们只是在数学系上过几门课，也许他们甚至拿了数学博士。
是数学博士，但他们最后并没有成为数学家。他们把那些技能都用到了别的地方。看起来这里面确实有某种可以泛化的东西。在寻找合适抽象的方式，或者这种解决问题的方法上，似乎有某种特质，会让人在其他地方也更有价值。而这里价值的第三类，经常被低估，但我觉得以后只会越来越值得被重视，那就是一种审美上的东西。做数学本身就是一种快乐。对我个人来说，我觉得那是一种非常具体的情绪。
就像如果我在琢磨一个好问题，我脑子里会有一种“咔哒”一下对上的感觉。然后我会看见这个问题将会怎么被解开。或者当我脑子里抓着某个自己还不熟的新理论时，我突然看见它是怎么拼在一起的，它就会给我一种完全不同的思考方式。而且我觉得数学里有很多不同的部分，都会带来这种重塑你思维方式的感觉。任何上过线性代数课的人，往后余生说话方式都会有点不一样。
他们会用“正交”这种词来形容想法；而接触范畴论的人，有时候会觉得自己的脑子像是被整个翻了过来。进入了一种全新的思考方式，而这种感觉本身就很让人满足。就是很棒。如果你去问数学家们，当初是什么驱使他们进入这个领域的？不是每个人都这样，但我觉得对很多人来说，这其实才是真正的原因。这里面有一种特定的快乐，一种艺术性的愉悦。而且我也觉得，这能解释为什么你现在看到的很多关于AI和数学的反应。会和艺术家们对AI和艺术的反应产生这么强的共鸣，很难受。
因为从某种意义上说，这会让人觉得它正在侵犯一种艺术形式。但如果我们把这当成一份职业，而不是爱好，那要是没有资金来源，这些就都不重要了。那数学的钱是从哪来的呢？一个很大的组成部分是教学。很多数学家本身就是数学教授，他们在大学里，在数学系教书。数学系通常教的不只是数学专业的学生。所以在学分时数和学费方面，他们的影响力往往特别大。对，当然还有公共资金，比如在美国。我们有 NSF 的资助。
我们也有一些来自各类机构的私人资助，比如西蒙斯基金会之类的，然后有时候也会有产业资助。顺便说一句，在这些类别里，就资金来源而言，教学其实是最大的一块。和其他科学相比，这点对数学来说有点特别，因为数学研究相对便宜，而且经过数学系的学生范围也比较广。国外。好，那我们接下来要做个思维练习：想象一下，如果 AI 在这套研究链条中的不同环节上都变得比人类数学家更强。会发生什么？不过首先，也许我们得先搞清楚价值链和资金链之间到底是什么关系。
比如说，后面这两种价值来源——解题能力和审美上的快乐——本质上都是个人层面的好处。只有做数学的人自己才能真正体验到。公共资金的存在，并不是为了支持一小圈圈内人在那里从事一种看起来很体面、很有美感的爱好。我觉得，更好的理解方式是，这后两种价值其实主要是通过教学这条金钱链条流动起来的。世界各地大学数学系里来来往往的学生，大多都是为了培养技术性的解题能力。希望这些能力以后能在别的地方派上用场。
其中也有一些人是为了那种审美上的快乐。我知道我当年就是。当然，说清楚一点，数学带来的其他好处——比如它能锻炼一种普遍有用的能力——也确实让我感到安心。也让我觉得自己的选择是被认可的。但如果要诚实地描述我当时从那个数学系里获得的大部分价值，那更多还是偏向审美这一边。而数学对整个社会更大的好处，当然还是来自那些下游应用。不过我觉得，还有更多共享的好处也值得被看到。
比如，数学科普——像这个频道、Numberphile，或者数学家去做讲座——其实就是在尝试把那种审美上的快乐更广泛地分享给社会。另外，从公共和私人资助为什么站得住脚这个角度来看，虽然大家写资助申请时都会围绕那些下游应用来讲。但我觉得一个更重要的正外部性是：你有这样一个机构，在培养一大批具备某种解题能力的人。你知道的，就是把世界各地这样的人吸引到名校来，让他们在这里接受这种训练。
然后他们中的大多数其实并不会真的去当数学家。他们会流向经济中其他非常有用的领域，把这些可迁移的技能用起来。光是这一部分，我觉得就已经能让投向这类机构的钱获得非常可观的回报了。至少前提是它确实在培养优秀的问题解决能力，而且这些问题解决能力也确实是可迁移的。好吧。那我们来聊聊真正核心的部分：如果 AI 开始擅长这套研究流程里的各个环节，会发生什么？
当我们进入这里第一部分、先假设机器在定理证明上比数学家更强时，也许值得先退一步，总结一下刚刚到底发生了什么。就像我说的，我已经想这个问题有一段时间了。其实，Three Blue and Brown 一直在后台悄悄进行一个项目，大概从 2025 年年中开始。我一直在录一些对数学家的采访，就是想听听他们怎么看 AI 出现在数学里这件事，以及他们的感受。而我得出的一个大致结论是：在任何一个固定的时间切片上看，当下的位置被高估了。但前进的速度没有被高估。
比如说，回到 2023 年吧，我记得我收到一个朋友发来的短信，说：你说 DeepMind 是不是已经狠狠干翻了奥数级几何？他说的是 DeepMind 当时推出的某个模型，能够回答 IMO 级别的几何题。而在那个时候，答案大概是：嗯，算是吧？但它显然又不符合我们通常所说的“解出 IMO 级别题目”的那种意思。那感觉非常定制化，也很暴力穷举。但这类题本来应该是要被解出来的，它们本来就应该需要某种创造力和想象力。
但如果你把时间往后拨几年，自然语言模型——甚至都不是那种特别定制的模型——也已经能按任何合理定义去解出 IMO 级别的问题了。再比如今年早些时候，你开始看到一些所谓的埃尔德什问题出现了证明。保罗·埃尔德什是一位非常了不起的数学家，他提出了很多不同的问题。他对什么算是一个好猜想很有品味。这些问题本身有一个编号体系，于是模型公司自然而然就很喜欢拿它当一种基准测试。至于这是不是个好基准先不说，你开始看到越来越多机器生成的这类问题证明。
而在早期，很多人会说：是是是，但你仔细看就会发现，其中很多其实只是低垂的果子——要么是以前没人试过的问题。要么是问题其实已经被解了，只是没有被好好记录下来。而模型本质上只是把这些重新打包了一遍，只不过没有标注功劳归属，这当然本身又是另一大堆问题。但如果你快进到现在这个时间点，已经没人会说我们现在看到解答的那些问题只是低垂的果子了。这些里面有很多都是非常严肃的问题，数学家们曾经非常努力地想找出证明。而现在 LLM 正在输出证明。
这里我也想说得很清楚：就算你把那些上头条的大新闻结果先放到一边不谈，这件事也是真的。而且一直都值得讨论。你知道，比如 OpenAI 最近那些东西，像 Navier-Stokes 相关的那些，或者他们一下子放出来的几百道问题。如果你去和一线的数学家聊天，看看他们是怎么和这些模型互动的？至少对其中一些人来说，你会听到的是：他们把一个严肃的研究问题抛给某个推理模型。而得到的回答，是他们觉得有洞见的。当然，这在不同领域、不同人之间差异非常大。前沿能力在一种分形意义上是尖刺状的，完全不均匀。
另外，围绕这些证明到底该怎么呈现，也存在海量争议。There is also an immense amount of controversy around the way some of these proofs are presented, and not to downplay the significance of any of that. I think the broad ten thousand high-foot view here is four years ago, these things couldn't even add numbers. 它们掌握竞赛级数学的速度，比任何人预想的都快得多。它们从那一步跳到能做任何和研究相关的事情，速度也比很多人预想的快得多。
所以，就算说定理证明现在已经被解决了这种说法有点夸张。就算我们现在看到的大多数证明，其实离人类数学家的贡献都只有几小步之遥。而且往往还是非常新的贡献。就算“定理证明被解决了”这个说法本身到底是什么意思都还没有明确定义，考虑到过去四年的进展速度。为了方便讨论，也为了那个刚读博一、想往前看、猜测自己未来什么东西是稳定的学生。我们就先假设机器在数学里“生成证明”这一侧已经是全面更强了，那会发生什么？
简单说，我觉得这对价值链几乎没什么影响。因此对资金链也几乎没什么影响，但它会对数学这个体制里的文化和功劳分配系统产生非常巨大的影响。所以只看价值链这一边的话，应用就像我前面说的，几乎总是来自理论构建这一侧。重要的不是“五次方程不可解”的那个证明本身，而是群论的创建。而群论反过来又会带来一些影响，比如让人提出夸克可能存在。重要的也不是费马大定理的“是”或“不是”的答案，而是从它衍生出来的所有数学。以及这些数学的应用。
有时候你也可以说，一个定理的表述本身就有一些用处。这里一个例子可能是：如果你在研究核聚变，而且你想要一个磁场处处非零的系统。毛球定理会告诉你，球面拓扑的东西是做不到这一点的。不过这在我看来总有点牵强，总体上应用还是来自理论构建这一侧。所以落实到资金层面，这就意味着公共资助依然是非常合理的。如果真要说有什么变化，那就是数学家现在在做理论构建这件事上杠杆更大了。私人资助也是一样。
至于价值链上的下一项，也就是锻炼那些解决问题的肌肉，这基本上不会因为机器更强就受到影响。就像可能有很多人在生成证明这件事上都比你强。
但即便如此，为了锻炼你自己解决问题的能力，亲自去做证明这个练习还是很有帮助。这里的类比基本上就是去健身房：没错，机器当然能举起比你更重的重量，但这并不会否定你自己去举那些重量能得到的价值。顺便说一句，随着 AI 在几乎每一项事情上都变得越来越厉害，价值链里这一部分——锻炼那些解决问题的肌肉——原则上始终都要求你这个人类亲自参与进去。
现在你可能会问，在我们接下来要谈到的那种科幻式未来里，如果 AI 把越来越多这样的能力都接过去了，那人类还需要解决问题的能力吗？这个问题我们现在可以先放一放，但只要这件事还有价值，这个价值就会通过教学这一侧流向资金渠道。依然非常有价值的是，让人类专家具备生成证明的能力，这样他们才能训练学生。要有生成证明的能力，这样你才能得到那些溢出收益。而审美愉悦这一侧就稍微更微妙一点了，因为两边的反应我都见过。
我见过一种很常见的情绪，尤其是在网上，就是机器做出的定理证明会把其中的乐趣彻底抽干。你知道，很多时候如果是一位数学家正在往某个特定结果推进，结果那个结果却成了 OpenAI 随手甩出来的几百个结果之一，他们就会说这一下把他们所有的劲头都抽空了。我能理解这一点，而且这部分很值得认真讨论。不过话说回来，我也见过另一面，尤其是在线下，有些数学家会因此兴奋得不行。
他们一直都有一些特别想知道答案的问题，而现在他们能通过和模型互动慢慢看到这些答案，尤其是当他们在意的不只是证明本身，而是理论构建的时候，他们会感觉自己一下子被解锁了。就稍微让你感受一下，我想跟你分享一段我和高等研究院的 Konstantin Kogler 的对话。还有研究方面，当时他在聊他那个领域里一个非常重要的问题，算是最重要的问题之一，而在过去一年里，他一直在试着把这个问题拿去问他能接触到的最先进模型。
这就是他当时的评价。所以我有两个，我会说，是非常非常重大的成功。所以周日的时候，呃，我大概算是把这个领域里最重要的那个公开难题给解出来了。呃，我还有另一个成功，就是那个，那个我们之前跟你说过的不可约多项式。所以那真的是太精彩了。而且它很简单，那个其实周四我就已经看到了，所以它很简单。
它有一个简单但很有力的想法。一开始我感受到的是难以置信的兴奋，因为是关于数学，关于力量，关于我将会学到的真理，关于我所看到的思想力量。嗯哼。所以，然后我就一直想着数学，这让我睡得更少了，然后我又想着那种兴奋，因为我得到了那种我一直特别渴望的洞见。对。嗯。
顺便说一句，这种分化现象——网上往往更容易看到负面情绪，而线下更容易看到快乐——当然不只是 AI 和数学才有。这其实就是当下这个世界里话语环境的本质。我也不想淡化那些负面情绪的真实性或正当性。事实上，我马上就想更深入地聊聊这个。不过我确实觉得，这对那个博士生提出的核心问题——明天该做什么——是有启发的。
还是那句话，我保证会在这个视频最后给你一个具体的答案。但这个答案的第一部分是：去社交。把笔记本电脑合上。和你的博士同学一起去散个很长的步。至于那场长时间散步时该聊什么，相信我，我们会讲到的。我知道我们在这一点上花了很多时间，但现在的大部分讨论确实都集中在这里，而且我在这儿确实还想再补充几句。
比如说，如果机器更擅长生成证明，那么真正做数学这件事看起来会是什么样？嗯，如果我们站在那个乐观派、那个因此感到兴奋的人的角度来看，那基本上就意味着更主动地投入到理论构建里。你不再受限于自己一路上解决某些问题的速度了。你可以把你想问的问题统统都问出来。你也可以更快地看到这些问题的解答到底是什么。
你可以试着去梳理这些东西，去理解它们怎么融入一个更大的叙事里，在我看到的所有证明中，哪些元素体现出某种简洁性，以及我该怎么把这些编织成一种新型理论的整体，就像伽罗瓦当年引入群论，或者格罗滕迪克发展代数几何那样。作为个人，你到底有机会把什么东西完整地生长出来？也许你的博士论文不再只是几条证明，而是整套理论构建。
这里一个类似的比方是，就像你在看一本教材，因为书后面有答案，你就能更快地真正理解那些内容。这不是说你应该老去看答案，你还是得自己做题、自己投入进去。但如果你卡住了，有那么一套更连贯的答案展示，确实能帮你从卡住的状态里出来。这会让你比面对一片完全未知的新大陆时前进得更快。不过你确实得认真想清楚该怎么做这件事。
比如说，很多机器生成的证明会用到一些最初来自人类论文发表的想法，而现在这类来源归属并不总是自动完成的，所以这显然是个问题，也就是说你得额外多做一步，确保功劳给到该给的人。不过，说到我刚才提到的那种非常真实的乐趣流失，我觉得很多数学家听到我刚刚描述的这些，会说，天啊，这听起来太糟了。
我可不想坐在那儿，硬着头皮去梳理一大堆机器生成的垃圾，只是在理解那些别人早就已经解答过的问题。我想要自己找到答案。我追求数学最大的快乐，本来就是亲手去做，并且形成我自己的理解。而我也确实觉得，怎么回应这种感受，可能是当下整个社群最需要认真面对的重要问题之一。但我怀疑，至少其中一部分感受，其实可以归结为两种不同的东西。
其中之一是，现在模型产出的解释质量往往还是很不理想，没人想去硬啃一堆垃圾。我怀疑这会变好的。我觉得这也许只是历史上的一个短暂插曲：你已经有了证明生成能力，但这些证明本身又几乎让人看不懂。那些模型公司有很强的动力让自己的模型具备良好的解释能力。如果你看看代码这条发展轨迹，我觉得在早期，很多生成出来的代码就算能跑，也还是挺乱的，而它的发展方向一直是在变得更整洁。
可能会有人在这点上不同意我。它们确实特别爱写过多注释。但总的来说，我确实觉得这是整体趋势。不过，我怀疑更深层的问题，是数学界在重视什么、以及功劳该记给谁这件事上，存在一种文化惯性。因为有件很糟心的事是，如果你一直在追一个问题，结果模型先把答案找出来了，尤其还是模型公司那边搞出来的，而不是通过你和它互动得到的，那就会让人觉得这个问题已经被解决了，而你只是在后面收拾残局。
在它后面收尾。而且在数学史上的很长一段时间里，我们一直把证明当成理解的替代指标。它就像是要追逐的北极星，好像能证明一件事，就意味着你理解了它。我们有这些宏大的开放问题，而我们会把证明被创造出来的那一刻，当成它们被解决的时刻。当然，这肯定不是全部，而且大家其实也一直都知道这不是全部。
如果你给期刊投一篇论文，结果写得很差，他们会直接给你退回来。如果你在里面证明了一个非常重要的定理，但文章写得很差、表达也很糟，他们还是会很挫败，因为他们知道这件事本身很重要、值得在意，但他们依然会退稿，责任还是在你，要把它解释清楚。我觉得到了这个阶段，我们应该把证明看得有点像数值计算一样，也就是说，它是一种对理论构建有帮助的原始数据，但它本身绝对不是终点。
顺便说一下，这不是我自己的想法，别人也提过，可以把这些机器生成的证明更多地当成一种数据来看。但我觉得更广泛地说，把理论构建而不是证明本身当成目标，会让人有种解放感；而证明则是一种你可以拿来塞进这个过程里的原始数据。比如说，我并不在乎那个被强行吹大的 Navier-Stokes 问题。我真正在乎的是，有没有人真正理解了那个证明里的思路，以及这些思路能生长出什么样的数学，最终发展成一个漂亮又连贯的理论。
如果有人愿意投入精力去做这件事，那就把千禧年大奖问题颁给他。这才是我们一开始在乎它的原因。证明只是数据，就像是再多给我几位 π 的小数一样。这也会影响你做研究的方式。有时候你可能确实只需要再多一个证明，而这时和模型互动可能就是最好的办法。但很多时候大概并不是这样，更好的做法是合上电脑，自己动手写写画画，把自己的理解捋一遍，然后问问自己：现在到底是什么在阻碍我建立一个更深的理论，去解释这里到底发生了什么？
是还差一个证明吗？还是说，问题出在我对现有这些证明的理解上？再回到我们刚才说的数学研究中的那些部分，如果机器能生成证明，但表达得不好，那就说明你还是需要人类数学家把它们讲明白。坦白说，那大概不是最有意思的部分。不过这可能还是要看你的视角。不管怎样，我觉得这只是个比较短暂的过渡阶段；而且我们就假设，机器后来也会更擅长表达自己的想法。
顺带一提，那还只是书面表达而已。另一种同样很有价值的沟通方式，是更偏社交的那一面，而这通常是通过口头表达来发生的。我觉得在未来整条发展轨迹里，口头表达能力的重要性只会越来越高。机器没法替你理解这些，而数学很大一部分就在于让别人理解并且在乎它，我们本来就是社会性动物。所以就算机器更会讲清楚，一件事之所以能让我们在乎，很大程度上还是因为我们看到另一个真正很在乎这件事的人。
这里面有一项是提出问题，决定哪些定理才是值得去证明的。目前来看，这依然是数学家非常有活力、而且投入时间回报极高的一个领域。但我们还是再假设一下，为了方便讨论，也假设机器在这方面也变得更强了。你和模型的互动不再只是让它去证明某个特定定理，而是它会回来告诉你：还有这些问题值得去问，它们可能会产出很有价值的数学内容。
而且不管我们怎么定义，机器在提出这些问题上都比数学家更厉害。这和理论构建之间显然有条很模糊的界线，不过至少先讨论一下吧，假设人类在理论构建这一侧还是更强，也就是真正能从这一大堆定理以及它们的证明方式里理出意义。而这才是和下游应用最相关的，所以从为数学提供资金支持的角度看，不只是依然有道理去做这件事，而且这么做的杠杆还更大，因为每一个数学家都能比以前快得多地推动理论前进。
从锻炼解题能力这件事来看，它一直都很像健身房里的举铁。机器是不是更擅长，这根本不重要。你还是会希望人类持续接受这方面的训练，学会怎么去做，前提当然是人类的解题能力本身还有意义。比世界上任何别的地方都更是如此。至于审美上的快乐，我觉得我们会继续看到一点分化。
有些人不会觉得让模型自己提问题再自己回答，是件很有意思的事。我知道我自己大概这辈子都会一直想在自己脑子里琢磨有趣的问题，再用自己的方式去找到答案，不太会管模型已经能做到什么。但你也会看到另一类人，他们会觉得特别兴奋，会觉得自己在构建理论、理解理论这件事上，受到的速度限制越来越少。甚至也许会开始看到这些理论被应用的节奏，不再像以前那样要等上几十年甚至几百年才有下游应用，而是可能更早一点就主动去寻找这些应用。
但如果，今天的研究生可能会问，如果连理论构建这一侧也失守了，而且从某种抽象意义上说，推动理论数学前进的最高效方式，不只是让机器生成证明，或者告诉我们该去证明哪些定理，而是它们还能消化所有这些证明，从中找出最简洁的核心，理解为了围绕这些内容建立一套连贯理论，到底需要织入哪些真正新颖的结构，那又会怎样？这就有点像把1500年以前的全部数学都喂给它……一直到1500年代，然后它不只是解出了三次方程，还自己想出了该用什么记号来表示，提出了复数理论，你懂的，还有后面所有类似的东西。
也许你不觉得这很可能发生，也许你觉得这种真正新颖的思考，以现在这些依赖人类知识和训练数据的大语言模型来说根本不现实。但还是那句话，就当是做个假设性探索吧。如果别的都不说，在那样的世界里，数学这个领域会是什么样子？嗯，如果我们的目标是产出现实世界里的应用，那么按照这个假设里的前提，模型在所有理论生成上都更强。
但你还是需要有人足够理解这些理论，才能看出它们要怎么应用到周边领域里。这些东西跟治愈癌症有关吗？跟让核聚变真正落地有关吗？跟高温超导有关吗？真正落到实处、见真章的地方，就在这里。从个人解决问题的角度看，跟这整个故事里一直说的一样，你就是在健身房里。就算机器更厉害也没关系，只要人类的问题解决能力还有意义，你还是会希望去练，去把这一整套过程走一遍。
说到美感和快乐这块，我意识到我其实把两件不同的事混在一起讲了。我说的快乐里，有一种是任何人在做数学时、不管是什么水平，都能体验到的。就是那种看到一个巧妙解法，感觉它在你脑子里咔哒一下对上了，会带来一种特别独特的满足感；或者当你真正理解一个新主题时，它会以一种特别让人向往的方式改变你的思维。比如说，这个频道上你和我一直在做的，本质上就是这个。
然后另外还有一种，是研究者站在前沿、推动那个前沿时体会到的快乐。前一种在我看来，基本不会因为 AI 在这张清单上的某些任务做得更好而受到什么影响。它完全就跟“解题”那一栏是一样的。而且原因也一样：如果你想体验这部分价值，那就得是你自己真的在做数学，真的在用自己的脑子跟它较劲。当然，能做数学的模型的出现，大概会对有些人产生一点影响，但我也觉得，这一面的快乐本身更带有一种天然的共同体属性，或者说社交属性。
至少它会因为这种共同性和社交性而变得更强。我觉得，当你身边有同样热爱它的人，或者你看到别人真的对它充满热情时，你会更容易对一件事投入激情。这种事当然也可以在孤立状态下发生，而且确实会发生，但那个社交成分永远都会是个放大器。对我来说，不管任何机器有多强，我都会一直想去接触更多数学内容，在自己脑子里把它们想明白，然后分享给你，也会把我的一生都用来和你分享这些。
至于研究者所体验到的那种快乐……在这里，我觉得我前面一直在说的那种分裂，只会变得越来越清晰。大概永远都会有一类人，会因为机器给他们打开了一扇看数学世界的全新窗口而感到兴奋不已；也大概永远都会有一类人，会觉得这件事特别让人泄气。因为说实话，这里面确实失去了一些东西。
长久以来，推动人类理解的进步，和所有那些下游应用之间，一直是紧紧绑在一起的；而在我们现在说的这些假设里，它们变得越来越脱钩了。这大概就意味着，对有些人来说，“仅仅为了推动人类理解本身而前进”的感觉，会少掉一点劲儿。也许你就是不想读一本后面附了答案的教材，就算你可以不去看，那个开拓未知的精神还是会因此被削弱。
我接触的很多数学家，我觉得他们其实没那么在意自己是不是站在前沿，或者是不是第一个发现某件事的人。他们看起来真的更多是从那种共同体性质里获得快乐。所以毫无疑问，你会看到数学共同体里出现越来越多不同的暗流，去强调推动人类对数学的理解这件事本身的价值。为了数学而数学，这本身就是一个值得追求的目的。
所以总结一下它在我们那张图里的相关性：只要学习数学这件事本身始终还能带来快乐，而这种快乐又能通过教学这条渠道流动下去——前提是人们愿意花钱去学——那这一部分就不会受影响。不过也得承认，如果其中有一部分快乐本来是来自于“我也许能成为开拓者”、成为第一个踏入某种新理论领域的人这样的希望。那说真的，这确实会是一种损失。
再把这个推演到底，看看我清单上的最后一项：假设机器不只是更擅长生成证明，不只是更擅长提出那些一旦被证明就能产出丰硕数学成果的猜想，也不只是更擅长理解什么样的数学才是真正有成果的，以及该怎样把它概括进好的定义和好的理论里。
而是它们连看出这些东西能应用到哪里、并把它接到科学和工程里这件事，都比人类更强。我们就把这叫做“你能做的我都能做得更好”的未来吧。未来。事情从这里开始变得更有意思了，因为在这条理论领域的价值链上，第一次出现这样一种情况：所有流向应用端的好处，都更适合直接在机器这边发生。所以理论上讲，如果公共和私人资金的投入动机是下游应用，那最有效的用法就是把钱全砸进某个大型算力团块里，让它专门做数学。
它创造理论，把理论接进应用，在这个意义上推动事情不断往前走。如果非要我猜的话，虽然到了那一步，从下游应用这个动机来看，那样用资金会是理性的，但我还是很难想象政策制定者会直接一键切换，让公共资金不再流向人类，而是流向一大坨算力。我能想象的是，一些因为 AI 本身而变得极其富有的人，会成立私人基金会，然后把钱一股脑投向一大坨算力。
就是那种，嗯，会做数学的东西，感觉这种事很有可能会发生。而在公共资金这边，更有可能的是，人们会越来越多地去讨论数学带来的那些其他正外部性。比如说，拥有这样一种培养解题者的机构，而这些人又会流向世界的其他地方，这本身就仍然极其有价值。光这一点，就足以让任何形式的公共资助都带来正向回报。
或者说，如果真的出现一些正式机构，是围绕“为了人类福祉而由人类来做数学”建立起来的。那本质上就是把数学当成一种艺术来拥抱，而它其实一直都是这样，也许到那时候，人们对这类资助的理解本身都会变成这样。
它之所以被资助，理由会和艺术获得资助是一样的：既有公共资金，也有某些私人慈善渠道。但还是得保持清醒一点，那些甚至都不是数学资金的主要来源。其中大部分钱其实是来自教学，而教学的价值，归根结底又来自这条价值链更底下的两个环节：训练人们建立解决问题的肌肉。以及在这个过程中，让他们内化一种非常具体的快乐。
这个“你能做的我都能做得更好”的未来所暗示出来的图景，狂野到让人甚至很难认真去面对。顺便一提，我们上面这些讨论，都是建立在一条事情进展顺利、没有发生什么灾难性事件的分支上。所以再说一次，也许有些人会觉得，AI 安全才是他们现在更应该投入的方向。但既然我们现在是在讨论这个，并且假设这是未来里比较好的那条分支。
未来里，我觉得你大概还是会保留某种类似现有大学的结构。哪怕理论上 AI 更擅长解释东西，人们还是会想跟人类学习，因为教育的瓶颈不在于解释够不够清楚，而在于动机。人们到底是不是真的想学这些内容？而驱动人们的又是什么？
有时候当然只是纯粹为了学习本身的快乐，但我们是社会性动物，而驱使人学习的一个很大因素，就是看到另一个人对这件事怀有深切热情，尤其当那个人还是你尊敬或在乎的人时。总的来说，在我看来，教学是最不容易被 AI 取代的岗位之一，因为它太依赖关系了，太依赖人与人之间的互动了。屏幕上生成得再清楚的内容，也替代不了这一点。
所以说，到头来这会把我们带到哪里呢？我觉得在可预见的未来，研究会需要越来越把重点放在数学里“构建理论”的那一面，而这本来一直就是重点，一直以来也都是核心所在。但主要的区别在于，证明以前是一个非常有价值的替代指标，而它现在正在失去作为替代指标的价值。
到了现在，它更像是一种原始数据，当然它依然可能是一种有用的原始数据，而且没错，毫无疑问，我们必须改变衡量人类学术贡献的方式。不过这大概是件好事。证明本身可能几十年来一直被高估了。同样地，如果说这个体制的价值在于磨炼解决问题的能力，那它也确实让人开始质疑到底该怎么做到这点，因为以前用来做这种训练的方法已经不再适用了。
比如说，单纯布置和批改习题这件事，现在其实已经没什么意义了。然后，就算你担心某种科幻式的未来——数学真的整个都能被机械化；或者你担心解决问题能力的训练不知怎么地会变得没用了？听起来有点牵强，不过你知道的，我们还是来认真想想这个问题。只要做数学还能带来快乐，数学对人类就永远有价值。
而我之所以特别看好最后这一点，觉得它哪怕在那些疯狂的科幻未来里也能成为某种支柱，很大一个原因就是这个频道。我的意思是，想想这里正在发生什么。你们当中有几百万人愿意在这里参与进来，但我们实际上在做的只是……就是沉浸在数学的美里，去找那些解起来特别让人满足的优雅问题，或者试着灌输一些新的思维方式。
当然，老实说，也不是说外面有几百万人愿意为这个掏钱，我是说，要真那样就太棒了，但确实有几千人愿意，而这就带来了天差地别的变化。再把视野放到这个频道之外，我最喜欢拿来说明大众显然对数学有很大胃口的一个例子，就是 Brady Haran 运营的那些频道：在他所有频道里，最火的远远是那个他……那个讲数学的频道。
或者把时间往前拨一点，如果你去看现代数学科普教父马丁·加德纳，一开始他的专栏是在《科学美国人》的末尾刊登的，但后来他们不得不把它挪到最前面，因为太多人订阅这本杂志就是冲着他的专栏来的。很明显，一旦人们真正尝到数学到底是什么，就会发现整个社会对它其实有着巨大的胃口。所以我觉得，数学界应该更主动地面向外部世界。并且更努力去满足这种渴望。
这期视频的大部分时间里，我其实都只是在说明，为什么我觉得数学这个体制是有价值的，而且会继续存在下去，但我开头说得更强。我说我觉得现在是进入数学最好的时期之一。我猜很多点开这期视频的观众，可能会以为我的意思是 AI 会为数学打开新的机会，但其实我说的不是这个。我觉得现在是进入这个领域的好时机，原因在于整个共同体都知道自己必须改变了，于是很多人都在往后退一步，寻找引导，也寻找范例，想知道这种改变到底该是什么样子。
所以，你作为一个刚进入这个领域的人，其实很有机会在它历史上最关键的时刻之一，影响它最终会变成什么样。我觉得这超级让人兴奋。所以，回到那位博士生的评论——告诉我明天该做什么——如果我是 2026 年的博士生，我可以告诉你我会怎么做。
六，我会做 3Blue1Brown。我会完全照这个来。如果10年前我走进某个数学系，说，嘿，我有个用高度视觉优先的方式来讲数学的想法，哦对了，你们能不能把这做成一篇学术上被认可的博士论文，而不只是个业余爱好吗？那我大概会被几乎每个系直接笑出去。我不确定年轻时候的我今天能不能做到，但如果说什么时候大家最有可能对这事保持开放心态，那就是现在。
当然，我不是说你就该这么做。你应该顺着真正让你热爱数学的那个东西去走。我喜欢讲清楚它。我喜欢把它可视化。那是我的热情所在。那就是我想一路做下去的东西。但你的呢？你想一路做下去的又是什么？
如果你喜欢构建理论这一面，想成为下一个伽罗瓦或者下一个格罗滕迪克，那太好了，就朝那个方向冲。你手边已经有一台会生成证明的机器，而且接下来四年它只会越来越强。也许你可以用它做出一篇这个世界前所未见的博士论文。一台机器帮你开辟出一片在过去那个世界里你根本不可能进入的新领域。
如果你不喜欢这些模型，不想用它们，它们让你心里很不舒服，那也很好，就顺着这个感觉走。数学界内部肯定会出现一些支流，想去界定什么叫“由人类为人类而做的数学”，以及那会是什么样子。你可以先把旗子插下去。你可以来决定，一篇能够代表这个目标的博士论文到底该是什么样。
我还会做的另一件事，是意识到：如果机器在那整个研究链条里的某些环节做得更好，那么，衡量一个人对材料理解得有多深、以及他有没有潜力推动这个领域继续前进——不管这具体意味着什么——最有效的方式，会越来越偏向口头表达这一边。所以，多做报告，做很多很多报告，把做报告这件事练到非常非常好，并且让它成为你数学训练里一个非常固定、非常日常的部分。
然后，如果说一个你明天就可以立刻去做的最具体建议，那就是去长时间散个步。找个朋友，也许是别的人。你项目里的另一个人，和他一起想一想，你到底喜欢数学的什么？你当初又为什么会走进这个领域？也问问他们，他们热爱的是什么？他们为什么会走进这个领域？
然后一起头脑风暴一下，未来几年你想怎么让自己的人生为这套价值体系里的不同层面作出贡献。对我来说，我还是热爱数学。我会一直热爱数学。我也会一直热爱去寻找把它可视化并在这个频道里分享给你们的方法。我对你最大的期待，就是你能找到一种方式，去真正投入你自己的热情。这个圈子从来没有像现在这样思想开放，而且他们会愿意听你要说的话。