想象自己身处艺术博物馆。当你漫步于展厅时，你会发现一张大矮桌上摆满了白色的小骨架。每一个看起来都像是一个立方体的随机碎片，它们都被有序地排列在网格中。我们现在看到的是索尔-勒维特（Sol LeWitt）一幅名为《不完整开放立方体变奏曲》的艺术作品的数字复制品。它代表了立方体不完整的所有可能方式，但需满足一些条件。在本视频中，我们将一起研究这个雕塑，并探索其背后的一些数学思想。
我们将了解这些立方体，制作可视化图表，观察它们的形态，并提出答案出人意料的简单问题。尽管我试图让这些探索变得通俗易懂、充满趣味，但最终我们还是会发现一个非常不简单的结果。这是一种可爱的古典技法，也是一种通过思考对称性来计算立方体的巧妙技巧。但首先，让我们更具体地说明一下我们正在研究的问题。
首先，立方体当然是一个规则的六面体。所谓开放式立方体，是指由 12 条棱边构成的空心立方体。我们可以选择其中一条边并将其删除，从而使开放立方体变得不完整。通过移除其他边缘，我们可以创造出不同的变化。卢伊特的第一个约束条件是，现有的边缘必须全部相连。我们不能去掉太多的边，以至于立方体四分五裂。
第二个约束基本上是说，现有的边必须形成一个明显的立方体。如果我们把立方体缩小成一个平面正方形，我们就会说这不算数。也不能少一个角、一条边或者什么都没有。我们的立方体必须是三维的，也就是说在立方体的高度、宽度和深度上至少要有一条边。为了理解最后的约束条件，让我们引入另一个开放立方体，并使其不完整。
这个立方体看起来可能与第一个立方体不同，但如果我们抓住它，像这样翻滚一下，就会发现它实际上是同一个不完整的开放式立方体。我们只是从不同的角度看问题。事实上，如果我们对这个形状玩得够久，最终会发现有 24 种不同的方法可以调整它的位置，每种方法看起来都与其他方法不同，但从根本上说都是相同的形状。
在最终的艺术作品中，如果把所有这些旋转等效的图形都包括在内，就显得有些多余了。所以我们只选了一个代表整个家庭。然后，我们把这位代表放在桌子上。下一个立方体将在旋转上与这个立方体截然不同，是一个真正不同的形状。下一个立方体在这些立方体的基础上旋转唯一，整个表格以此类推。
最终的作品展示了 122 个旋转唯一的不完整开放立方体的完整集合。这篇文章的一个有趣之处在于，整个定义可以用明确的数学术语来表述。在业务中，您可以将其重新表述为枚举立方体中所有相连且跨 R3 模数转换的适当子集。如果让数学家找出这样的枚举，他们基本上会得出这样的表格。
所以我们有了一些有趣的东西：一位在创作过程中有效解决了数学问题的艺术家。索尔-卢伊特是谁，他想通过这件作品达到什么目的？索尔-卢伊特是一位与观念艺术、极简主义和系列艺术有关的现代艺术家。概念艺术的核心思想可以从 Lewitt 的一系列壁画中窥见一斑。
卢伊特会提供一套说明，告诉人们应该如何在墙上画图或作画。在这种情况下，墙面图纸编号为 118。他指定了一幅有 50 个点的图纸，所有点都用线连接起来。然后，训练有素的安装人员会按照这些说明，在美术馆和博物馆的墙壁上制作出真正的作品。卢伊特的指示就像音乐家在写乐谱供他人演奏一样，强调了作品的概念性。
作品的创意才是艺术家真正的产品。卢伊特最著名的一句话可能就是：“想法变成了制造艺术的机器。”极简主义在某种程度上与它的名字如出一辙。卢伊特的作品极少使用装饰。大部分作品都是纯白色的，因为正如他所说，白色比黑色更缺乏表现力。大多数雕塑都是简单的几何形状，比如立方体。
关于立方体，他写道：立方体最有趣的特点是它相对无趣。因此，对于任何更复杂的功能，它都是最好的形式，是作品可以继续进行的语法手段。在之前的十年中，现代艺术被抽象表现主义所主导，以充满飞溅和斑驳以及其他随意行为的画作而闻名。连环画就是对这种随意性的反应。
卢伊特转而寻求一种技巧，他说，所有的计划和决定都是事先做出的，而执行则是敷衍了事。卢伊特的许多序列结构都是从“有多少种方法？”这样的提问开始的。比如，我可以用多少种方法在 25 个方格上摆放 5 个方块？或者，我可以用多少种方法堆叠三个打开的盒子？由此产生的艺术作品只是对这些问题的正确答案的呈现。
1973 年的某个时候，卢伊特向自己提出了一种新的连环画风格：一个立方体有几种不完整的方式？我们有非常惊人的发现。令人惊讶的是，这幅画完整地记录了艺术家解决这一问题的思维过程。索尔-卢伊特留下了约 50 页笔记本，其中的草图和工作图记录了不完整的开放式立方体的发展过程。
这些图纸目前保存在康涅狄格州沃兹沃斯雅典娜博物馆的档案中，他们非常友好地允许我们查看这些图纸，并将其复制到这里。通过查看这些图纸的内容，我们实际上可以看到索尔-卢瓦兹解决问题的过程。这些笔记本清楚地表明，在三个限制条件中，旋转等价性是迄今为止最难解决的问题。
一个立方体是平面的还是断开的，一眼就能看出来，但在一页又一页的笔记本中，我们看到卢伊特在努力消除旋转重复。据说，他会用回形针或清管器制作小方块模型。通过比较模型，他偶尔会发现两个他认为截然不同的立方体原来形状相同。红色标记表示他发现重复，不得不划掉一个。
正如 Lewitt 解释的那样：“我试图找出一种方法，通过数字和字母逻辑地完成它。但最终，这一切都必须通过经验来完成。我必须为每个模型制作一个模型，然后进行旋转。”虽然他从未找到纯粹的数学解决方案，但正如我们将从这些笔记本中看到的那样，卢伊特在找到解决方案的过程中确实发现了许多巧妙的技巧和巧妙的简化。
真正的思考过程：在完成这幅作品后，卢伊特才向两位数学家请教，两位数学家确认他找到了正确的数字，而卢伊特不得不煞费苦心地手工解决问题。看来数学家就是知道如何通过简单计算凭空得出这个数字的人。但一开始，数学家对问题也一无所知。他们也必须经过一些探索性的思考过程，才能找出答案。
在这段视频中，我们将解决索尔-卢伊特无法解决的具体问题。我们将通过展示通往解决方案的思维过程来实现这一点。在开始我们的数学探索之前，我们先做一点内务整理，重点只放在旋转等价问题上。我们暂且放宽其他限制。这意味着我们将考虑所有可能的立方体，包括扁立方体或断开的立方体，甚至是完整的立方体和空立方体。
因此，我们找到的家庭数量将大于卢伊特最终统计的 122 个，至少在我们在最后带回其他条件之前是这样。让我们开始吧。在索尔-勒维特的笔记本中，有很多页都是散乱的草图，这些草图显示了他对不完整立方体这一概念的探索。这种风格的页面没有显示太多的策略或条理，只有一团局部的立方体涂鸦，因为他正在熟悉总体概念。
藏品中的一份精彩文件是这封写给莱维特的大生意信函。如果你仔细观察，就会发现这张纸的背面显然被用作不完整的开放式立方体划痕纸。任何一个曾经对数学问题着迷的人都会发现，这个问题是多么熟悉，它是如何开始在你的试卷上到处乱窜的。我们开始探讨这个问题的一个方法是，注意到还有一个更简单的版本。
与其讨论不完整的开放立方体，不如先考虑一下二维情况：旋转等价的不完全开放正方形都有哪些？这是一个更小的问题版本，我们将能够对其所有细节进行思考。首先，让我们抛开这些限制因素，只问一下，在开始排序和筛选之前，我们一共要担心多少个方格？
要定义一个不完整的正方形，每条边都为我们提供了两个选择：开或关。从这一连串的选择中，我们得到了一棵决策树，这棵树产生了所有可能的方格。例如，如果我们选择上边缘为开，左边缘为关，下边缘为开，右边缘为开，我们就会得到这个不完整的正方形。其他结果也都差不多。
如果我们从侧面观察决策树，就会发现每一级的可能性都会增加一倍。因此，底部的结果数必须等于 2 的 n 次方，再加上决策树的高度。那就是我们可以用一个公式来计算这样一棵树的可能结果数。一般来说，我们必须做出的选择数量会增加 2 的 n 次方这样一个公式的妙处在于，当我们要计算更复杂的立方体时，它能让我们的工作变得更轻松。
一个立方体有 12 条边，可以设置为开或关。因此，我们有 12 个二元选择。2 的 12 次方，不完整的开放方块总数为 4096 个。只需计算出这个数字而无需手动计算，非常方便。现在，让我们来讨论如何将这 16 个不完整的开放正方形排序为旋转等价族这一主要问题。
我们先从这个正方形开始。它属于哪个家族？如果我们将它与它的邻居进行比较，就会发现它们在旋转上是等价的。也就是说，通过调整其中一个的方向，我们可以让它们看起来完全一样。因此，我们把它们聚集在一起，说它们是同一个家庭的一部分。下一个广场显然不属于这个家庭。
如果我们想做得彻底一些，我们可以将其旋转到可能的位置，以确保万无一失，然后再将其剔除。下一个是这个家族的另一个成员，我们就这样沿着整个长度走下去，拾取我们遇到的任何旋转等价方格。我们的单部分正方形组成了一个旋转等效的四等分族。现在，我们再看一遍清单，这次要捡起所有的角片。它们也聚集成一个四口之家。
现在，如果所有家庭都有四名成员，那么就很容易计算出家庭总数。因此，16 个方格分成四组，就意味着共有四个家庭。不幸的是，平行柱打破了这一模式。通过汇集成一个只有两个部分的家族，三个部分的正方形又组成了一个四个部分的家族。最后，完全平方只与自身旋转等价，因此它构成了一个族。空方格也一样。
至此，共有六个旋转等价的不完全开放正方形族。我们通过暴力搜索得到了这一结果。我们真正想要的是一个公式，一个同样可以应用于立方体的数学确认。如果我们有了这种数学上的确认，那么就很容易应用索尔-卢伊特的其他条件了。在艺术作品中，每个家族的一名代表组成了一个旋转唯一的不完整开放方形集合。
我们可以去掉右边的方块，因为它并不完整。我们可以去掉左边的两个方格，因为它们不是正确的二维方格。我们可以去掉中间的方块，因为它并不相连。剩下的就是这两个人了。这就是不完全开放正方形的完整变化。真漂亮！这幅作品的一大亮点是，它让我们了解到，当我们从三维角度考虑同一个问题时，似乎会产生更多的复杂性。
为了好玩，让我们来想一想，用蛮力搜索这些立方体的家族会是什么样子。因此，我们现在正沿着走廊前进，走廊上有 4096 个未完全打开的方块。如果要将这些立方体按家族分类，就必须沿着生产线逐个进行手动比较。而且要记住，与正方形不同，长方体在旋转等价物方面其实很棘手。您可能需要把它们翻滚一会儿才能确定。
因此，这需要一定的专注力和注意力。这也需要很多时间，因为这条走廊真的很长。4096 是这样一个数字，你知道它很大，但在看到这样的走廊之前，你很难真正体会到它有多大。事实上，我们需要加快速度，才能到达目的地。当我们走在这里时，请记住，你必须一遍又一遍地走过这条走廊，每召集一个家庭就走一遍。
很显然，这将是一场艰苦的考验。事实上，经过这么长时间的旅行，我们才走到走廊的一半。因此，我们对问题的难度有了相当生动的认识。不过，玩笑开够了，我们来制定一个计划吧。显然，索洛维特要想取得任何进展，都要付出艰辛的努力。他可能得想出比暴力搜索更好的办法。
在比较两个立方体是否旋转等价时，一个很好的问题是：它们的边数相同吗？一个五部分立方体和六个部分的立方体，无论我们如何摆放，看起来都不会一样。从一开始，我们就看到卢伊特将注意力限制在具有一定数量边的立方体上。不同大小的立方体有不同的页面，显示了他是如何将整个问题分解成几个小问题的。
这种分而治之的方法体现在艺术作品的最终布局上。最下面一行包含所有可能的三部分方块。下一行包含所有四个部分的立方体，依此类推，一行一行地往上排列。通过将整个问题分解成九个小问题，路易特完成了我们将看到的他对任务进行的几项简化中的第一项。那我们呢？我们希望能想出一个办法。
那么，我们应该考虑采取什么样的战略来解决这个问题呢？当我们发现决策树公式时，是通过考虑决策过程本身，然后注意到一个描述决策过程的公式。如果我们想用同样的方法将图形按族分类，那么我们可能需要研究相关的过程。也就是说，在索拉维特试图为我们摆脱蛮力搜索的同时，直接研究这一过程也许是有意义的。看看我们能否理解它的目的。
显然，这种方法需要一段时间，但如果我们真的有的是时间，那就再简单不过了。我们只需拿起其中一个立方体，在走廊上走一圈，收集它的旋转等价物，这样一个家庭就走完了。我们拾起下一个立方体，收集它的家族，下一个立方体又给了我们另一个家族。然后，我们再一次发现，有些立方体似乎比其他立方体属于更小的家族。
重要的是要认识到，正是这种不规则性使得我们的计算问题变得困难。如果每个家庭的人数都一样，那么计算家庭总数就很容易了。但是，如果每个家庭在规模上似乎都各行其是，那么我们显然别无选择，只能像这样一个一个地手动清点。在我们就“有多少个家庭”这一主要问题取得进展之前，我们似乎首先要了解一个更局部的问题。
对于给定的不完全开放立方体，它的家族有多大？例如，如果我给你一个桌子形状的立方体，你能推理出它的家族有多大？试着这样看。桌面顶部有一个完整的方形边。一个立方体有六个面，总共六个方向。桌面可以定向指向这 6 个不同的面。根据这一逻辑，我们预计家庭人口为 6 人。这就是我们的发现。
如果我们用几个不同的立方体来试试，我们很快就会发现，属于 24 个成员大家族的立方体往往看起来更不规则，就像右边这个奇怪的角色。而像桌子这样比较有序或对称的形状似乎属于较小的家族。这在某种程度上是有道理的。如果一个立方体形状奇特，那么它在每个可能的方向上看起来都可能不同。所以这只是一种预感：我们可能会发现，对称性较强的形状似乎家族较小。
对索尔海特来说，最好的计划似乎是分而治之。对我们来说，计划是推迟主要问题的讨论，首先关注一个更简单的问题：如何计算给定立方体的家庭规模。我们将继续追寻我们的直觉，即这与对称性有关。这两种方法都还有很多工作要做，但我们现在都有了如何解决这个问题的策略。
在卢伊特的笔记本中，我们看到他设计了许多不同的标签概念。他为方块本身设计了一套编号系统：用斜线分隔的两个整数，其中第一个数字描述立方体有多少个部分，第二个部分是任意分配的索引。显然，这些立方体并没有特定的顺序，但通过给每个立方体编号，Lewitt 能够为他的调查带来一些秩序性和一致性。
他还尝试了几种给立方体各部分贴标签的不同方法。在一幅作品中，他给角分配了字母；在另一幅作品中，他给边编了号。您认为哪种记法更好？在卢伊特的作品中，他一开始使用的是角标，但在创作了大量这种风格的笔记后，他放弃了这一系统，转而使用编号边标。我们将看到，这将是一种更高效、更优雅的注释立方体的方法。
此外，好的符号还能帮助你以新的方式思考问题。考虑一个不完整的开放立方体。如果我们想象一下缺失的边的集合，就可以想象出一个不完整的开放立方体，它就是由这些边组成的。也就是说，每个不完整的开放立方体都是互补对的一部分。边编号符号使我们很容易想到互补对。
通过给定一个立方体的标签，并从字面上数出缺失的数字，我们就能得到其补码的标签。只是在卢伊特改用这种边缘编号系统后，我们才突然看到他开始同时探索立方体和它们的互补体。考虑这些组合是很有用的，因为正方体的边数和它的补数加起来总是要等于 12。例如，每个四部分立方体都有一个八部分互补体。
因此，卢伊特基本上可以同时探索四部分和八部分的立方体；类似的还有五部分和七部分的立方体，以此类推。利用这种双重性，卢伊特巧妙地将搜索工作减半。找到合适的标签系统是解决问题的重要一步。那么，什么东西可能对我们贴标签有用呢？我们有兴趣了解像这个 24 人小组这样的家庭。目前，我们还没有任何方法来指代特定的家庭成员。
因此，这可能是新标签系统的一个很好的候选方案。例如，给定的立方体和下角的这个家庭成员是什么关系？我们可以看到，如果我们将给定的立方体旋转 90 度，就会得到下方立方体所显示的方向。我们甚至可以认为，当我们将给定的立方体绕纵轴旋转 90 度时，得到的立方体就是这个立方体。类似的几何描述可以适用于所有这些家族成员。我们可以通过思考调整立方体方向的所有不同方法，找出这个标签系统。
例如，我们已经看到可以将立方体绕垂直轴旋转 90 度。但我们也可以继续旋转到 180 度和 270 度，然后再回到原来的方向。因此，让我们将给定的立方体复制三份，并分别应用这些变换。这样，立方体就有了三种不同的方向，而且都截然不同。纵轴穿过立方体的两个相对面。
另外还有两个面心轴，我们可以将其称为 F1、F2 和 F3。而每一个都可以用来给出立方体的三个新方向。围绕这些轴线旋转，我们总共可以得到九个额外的家族成员。让我们放大第一个例子，秉承索尔-卢伊特（Sol Lewitt）的精神，给它贴上两个部分的标签。F1 表示轴线，90 度表示旋转的角度。
我们可以给这里展示的所有家庭成员贴上这样的标签。我们可以围绕立方体旋转的另一条轴线是这条穿过对角的对角线。我们可以称它为角轴，并看到我们可以围绕它将一个立方体旋转 120 度或 240 度。将其应用于一对副本，我们会发现两个新的方向。
如果我们绕着立方体转一圈，就会发现一共有四条这样的轴，我们可以将它们标为 C1 至 C4。我们看到的前两个例子是围绕 C1 的旋转。以下是所有其他内容的输出结果。最后，还可以在对角线边缘之间设置一个轴，让立方体旋转 180 度。
立方体的 12 条边配对成 6 条这样的轴，我们将这样标注。围绕 E1 旋转，我们可以得到一个新的立方体方向。下面是其余的。从边轴得到 6 个立方体，从角轴得到 8 个立方体，从面轴得到 9 个立方体，我们最终得到 23 个不同方向的立方体。
如果我们把原来的立方体也算在内，我们就会得到 24 个不同的方向，即 24 个唯一标记的家族成员。还有更简单的方法来推导出一定有 24 次旋转。但我们稍后会发现，明确列出所有 24 个立方体对于我们计算不完整立方体的最后一步至关重要。
请注意，我们真正标注的是行动。围绕 C4 旋转 120 度这样的标签指的是可应用于任何给定立方体的变换。如果我们随机抓取一个不完整的开放立方体，将其作为转换的输入，就能得到一个大致相同的不完整开放立方体作为输出。
如果我们将相同的输入输入到所有 24 个变换中，就会得到该形状的所有 24 个方向，也就是它的所有家族成员。我们实际上已经有了一个配方，可以利用任何不完整的开放式立方体，生成其整个家族的副本。我们称之为全家福。
但是，如果我们把全家福画成一个没有 24 个家庭成员的形状，你觉得会发生什么呢？例如，我们知道这个看起来像桌子的立方体家族中只有六个成员。那么，如果我们把它做成全家福，其他 18 个位置该怎么安排呢？有一点我们可以肯定，那就是还会有重演。
原因是我们要以 24 种不同的方式撞倒一张桌子，但一张桌子只有六种落地方式。那么，让我们应用转换，看看会得到什么。这里肯定有很多重复的地方，也许最明显的就是上角这里。除了不变的立方体外，还有三个经过处理的立方体最终仍然是直立的。我们将直立的表格用绿色标注。
现在来看看这四种变换。每个人都成功地把桌子打翻在地。我们用紫色来标示颠倒的表格。我们可以看到，在这个方向上，我们的肖像包含四个表格。事实上，有四种方法可以让桌子指向任何特定方向。也就是说，我们每个家庭成员都有四份副本。
另一种说法是，我们可以把这幅全家福重新排列，变成四个完整的六口之家。因此，我们在这里看到了一些结构。不仅仅是颠倒的桌子或左右交替的桌子。全家福就像一台复印机。它为这个家庭制作了四个完整的复制品。其他小家庭也有这种情况吗？
在这个由三部分组成的立方体中，所有的边都在一个角上相交。一个完整的立方体有八个角，像这样的三倍体可以聚集在八个角上。因此，我们可以推理出，这个不完整的开放立方体有八个不同的方向。现在，让我们来拍一张全家福吧。我们将使用这种颜色编码来识别输出中的家庭成员。
在进行所有转换后，我们发现又一次得到了整个家族的完整副本。这次一共有三个。让我们将这些副本与上一个例子中的副本进行比较。关于这些矩形，我们能说些什么呢？首先，它们总共都有 24 个方格。因为一张全家福就有这么多方块。我们感兴趣的是这些矩形的高度。特定形状所属族的大小。
横跨顶部呢？我们该如何评价为这些矩形提供宽度的家庭成员呢？在第一种情况下，我们会看到一组熟悉的表格，它们在变换后看起来没有任何变化。在第二种情况中，我们看到了类似的东西。画像中的所有角片看起来都和以前一样。我们把全家福中的这些方块叫做 "相似物"。
更具体地说，可以考虑任何立方体和任何变换。如果立方体在应用变换后的外观与应用变换前的外观相同，就会产生 "外观相似"。在之前的例子中，我们什么都没做的立方体永远都是相似的。但是，家庭可能会有更多的相似物，这些相似物会给我们的矩形增加额外的宽度。
这告诉我们，似乎存在着一种数字关系。一个特定家庭的规模乘以其全家福中相似者的数量，总是等于 24。换一种说法，我们似乎可以通过计算一个立方体的同类，然后用这个数字除以 24，来计算出这个立方体的家族有多大。让我们试一试。请看这个去掉一条边的立方体。它的家族有多大？
为了使用我们的公式，我们需要想出所有能让这个立方体表面上保持不变的操作方法。一种选择是什么都不做。但是，我们也可以让立方体绕着这个边轴旋转，它就会保持原来的样子。只要左下角的边缘保持不变，立方体的外观就不会改变。而事实证明，没有任何其他变换能让它固定下来。
这样，我们就有了两个相似的人。这意味着家庭人口为 12 人。实际上，只要记住一个立方体有 12 条边，我们就能证实这一结果。因此，从一个立方体中移除一条边应该有 12 种不同的方法。所以这个公式是正确的。这个公式似乎也适用于我们的各种边缘情况。让我们来制作一个完整立方体的全家福。
当然，这只不过是外观相似而已，因为一个立方体从任何方向看都是一样的。但根据我们的公式，24 除以 24 等于 1，立方体确实是其家族中的唯一成员。假设我们还有一张全家福。除了顶部的立方体没有变化外，这幅画没有其他相似之处。24 除以最小相似人数，得出最大家庭人数为 24。
因此，我们找到了问题的公式化答案，而且在某种程度上，我们也证实了自己关于对称性的预感。说一个形状是对称的，其实就是说从不同的角度看它都是一样的。相似物的数量基本上是衡量对称性的一个数字标准。而我们的计算公式就体现了对称性越强，家庭规模就越小。
从概念上讲，我们现在知道家族和相似物是相关的概念。想想看，为了注意到这种关系，我们必须能够提出这样的问题：如果我们拍摄一张桌子的全家福，会发生什么？在使用我们的标签系统进行定义之前，根本不可能提出这个问题。定义什么是全家福。一个好的标签系统不仅仅是组织数据。
正如卢伊特的边缘标签可能引导他思考互补对一样，我们的标签系统也让我们找到了两个看似毫不相关的概念之间隐藏的联系。现在，当我们把注意力转回到确定家庭总数这一更大的问题上时，我们就可以着手解决这个问题了，因为我们知道 "相似 "可能是有用的。
你还可以在笔记本中发现另一种潦草的记录，那就是卢伊特在特定时间找到的立方体数量的流水账。例如，在这里，他把三个四部分、五个五部分的立方体加起来，总共 79 个。然后，他试着用 79 除以 12。为什么？这就是我的理论。在任何合理的宇宙中，不完整的开放立方体总数都应该与立方体的几何形状有某种数字关系。
正方体有 12 个面。因此，我认为卢伊特是在用他的总数除以 12，看是否刚好得出双数。我很喜欢这一点，因为这是在数学问题上苦苦挣扎的常见现象，你只是盲目但乐观地探寻着数学规律。概念艺术家是神秘主义者，而不是理性主义者，Lewitt 写道。他们妄下逻辑无法得出的结论。
与此类似，数学问题的解决往往也会涉及物理阶段，我们只是通过实验将不同的想法结合起来，寻找规律。例如，让我们以这个不完整的开放立方体为例，开始玩一玩它的全家福。现在，我们大概可以以这些家庭成员中的任何一个为起点，创作出这幅全家福。比如这个立方体。
让我们把这幅画拿出来，根据它的不同方向制作一幅新的全家福。对于这两张全家福，我们还能说什么呢？首先，它们描绘的是同一个家庭。您在左边找到的任何成员都可以在右边找到。但肖像也明显不同。为了对它们进行比较，让我们把它们垂直叠起来，并排看看每个条目。
我们知道，前两名是不同的。在创作这些肖像时，我们选择了他们作为独特的家庭成员。这两个显示的是旋转 90 度后的结果。但很明显，两个不同的立方体扭转 90 度后仍然不同，扭转 180 度后仍然不同，以此类推。因此，我们可以看到，虽然这两列在总体内容上完全一致，但在哪些家庭成员实际去了哪里的问题上，它们必然是完全不一致的。
因此，我们可以进行观察。同一个家庭的不同肖像只是彼此的乱码。每个家庭成员都有一张独一无二的全家福。因此，我们可以把所有 24 个家庭成员都找来，生成他们各自不同的 24 张全家福，然后把这些全家福堆成一个大合集，我们称之为家庭相册。
现在，这显然是一个非常抽象的概念。关于这个网格，我们还能说什么有趣的事情吗？我们知道 "长得像 "是一个相关的概念，那么我们可以问，"长得像 "是如何出现在家庭相册中的？我想说的是，这个问题有点像除以 12，因为我们可能不确定我们在寻找什么。没错。
在直觉而非逻辑的指导下，我们只是要把这些关于家庭相册和相貌相似的想法放在一起，看看是否会发生什么有趣的事情。事实证明，只要我们稍加思考，就能发现其中的规律。特别是，我们正在考虑一个 24 人的大家庭。因此，这些列中的每一列都只包含一个相似列表。
首先，在家庭相册中，一列有两个相似的人，会有什么不同呢？左边这一列有 24 个不同的家庭成员。右边一栏将包含两个完整的家庭副本，因此只能有 12 个成员。因此，当我们制作家庭相册的其余部分时，我们只能得到 12 栏。
但是，如果第一列有两个相似列，如果所有列都只是彼此的乱码版本，那么所有 12 列中的每一列都应该包含两个相似列。因此，虽然这两本相册的尺寸不同，但它们的相似相册总数应该是一样的，都是 24 个。类似的再平衡也会发生在任何数量的相似产品上。
3 个相似点意味着列数是原来的 1/3，但每列的相似点是原来的 3 倍。4 个相似点意味着只有四分之一的列数，但每列的相似点密度却是原来的四倍。也就是说，至少在理论上，我们预测每本家庭相册中都会有 24 个相似的人。让我们看看实际效果如何。
为了生成这个家庭的相册，我们为每个成员制作了一列副本，然后应用我们的转换。我们确实看到六列中的每一列都有四个外形相似的人。我们可以用三部分角片做同样的事情。在这里，我们可以看到八列，每列有三个相似点。如果是单边缺失的立方体，我们可以得到 12 列，每列有两个相似方。
在所有情况下，每个家庭共有 24 个相似家庭。如果我们忽略除了 "相似 "之外的所有内容，就可以将它们排列成列，然后开始构建一个新的矩形。将每个家庭的一列堆积起来，使其宽度等于家庭总数。这个矩形的高度是 24。因此，我们可以说，家庭数乘以 24 就得出了相似家庭的总数。
换一种说法，如果我们把所有长得像的人都算上，再除以 24，就得出了家庭的数量。从技术上讲，这正是我们一直在寻找的。输出家庭数量的公式。我们真的可以这样解决问题吗？像往常一样，我们可以通过二维案例来了解这一技术的实际应用。
这就是不完全开放正方形的六个家族。我们的计划基本上是逐一查看，并生成其家庭相册。然后，我们将计算出产生的所有相似物，再看看这个数字在我们的公式中是如何运算的。让我们从肘部家族开始。在二维情况下，我们只能应用四种可能的变换。
我们可以什么都不做，也可以旋转 90 度、100 度和 270 度。因此，这个方格的全家福涉及四个变形副本。请注意，这一栏中唯一的相似条目就是最上面那个没有变化的条目。为了制作我们的家庭相册，我们拿出了其他四张肖像画，最终我们找到了四张相似的肖像画。
让我们将其与 "双杠家族 "制作的专辑进行比较。拆开后，我们发现每列中都有两个相似点，因此总体上又有四个相似点。因此，在二维图像中，一般规则似乎是每个家庭贡献四个相似图像。如果我们把所有 6 个家族都拿出来拆开，就会发现总共有 24 个相似家族。
现在，当我们把所有的家族都这样分类后，很容易发现每个家族都为我们的总数贡献了四个相似家族。但是，当我们回忆起这些不完整的开放式方格最初呈现在我们面前时，我们的公式的力量就显而易见了。这是我们最初开始时的方块顺序。在这种状态下，我们不知道哪些方格属于哪些族，但每一列都和以前一样，而且无论这些列如何排列，黄色方格的数量都是一样的。
因此，我们可以直接计算这些数据。第一列有四个相似点，下一列只有一个，依次类推。把这些加起来，我们发现总共有 24 个 "貌似"，我们知道每个家庭贡献了 4 个。因此，这里肯定有六个家庭。这正是我们要寻找的。我们无需进行任何实际分类，就能计算出肯定有六个家庭。
请注意，在这种方法中，我们不知道哪个方格属于哪个族，也不知道哪个族有多大，只知道在某个地方一定有六个族。虽然这看起来令人兴奋，但当我们尝试将这种技术应用到我们的立方体时，我们会感到有些失望。我们很快就会发现，这并不能真正帮助我们。
首先，一般来说，计算长相相似的人并不比计算家庭人数更容易。而且，我们还得走这条该死的走廊。因此，这种方法在技术上可行是有点可爱，但从实际角度看却非常无用。我们真正证明的是，我们知道难以计数的家族数量与另一个同样难以计数的东西--貌似家族--有关。
失望是做生意的一部分，就像 Soluit 除以 12。千万不要害怕在盘子里搅动食物，看看会发生什么。有时是在浪费时间。有时，你会发现一些无用但有趣的东西，比如家族和长相相似者之间的关系。有时，失望只是另一种几乎相反的情绪--顿悟的欣喜--的前奏。
不幸的是，我们无法安排顿悟。只是有时会发生而已。例如，也许你正在想别的事情，但你也注意到了眼角的方格网，你的视线闲散地追踪着这些水平线。而现在，你正凝视着这些你希望自己能数清的长相相似的人。然后突然间你会想，等一下，我不需要从这边数这些了。我也可以这样数。
在我们继续之前，我只想花一分钟来描述一下当你产生这样的想法时会是什么感觉。在你还没来得及细想之前，你的某个部分就已经知道，你刚刚解决了这个问题。虽然还有一些工作要做，但从这一点来看，问题的感觉似乎变了，就好像你现在只是在推一扇敞开的门。
所以，我们要一排一排地数出相貌相似的人。旋转 0 度后，有多少个正方形看起来是一样的？简单。全部 16 个。旋转 90 度如何？只有两个，空方格和完整方格。180 度时，我们有四个，包括两组平行杠。而 270 度与 90 度相同，只能得到空正方形和完整正方形。
因此，这是计算总共 24 个相似者的另一种方法。我们只用了四个步骤，而不是 16 个步骤，这已经是很大的进步了。但是，让我们再仔细想一想，我们在这里到底要做什么。外观相似实际上是一个特定立方体和一个特定变换的组合，这样的立方体在应用变换后和应用前看起来是一样的。
我们试图统计出所有可能的组合，我们的方法是查看每个不完整的开放立方体，并询问有多少种变换能让它看起来一样。我们的顿悟基本上是，我们可以通过观察每一次变换，并询问这次变换后有多少不完整的开放立方体保持不变，来计算出相同的数字。
事实证明，这是一个根本不同的问题，回答起来要容易得多。一般来说，正如我们将要看到的，基本上可以用一个公式来完成。让我们回到二维的情况，看看能否弄明白为什么旋转
90度旋转只会使两个形状看起来不变，即空正方形和完整的正方形。考虑一个未确定的不完全开放正方形。要达到什么要求才能成为相似物？在旋转90度的情况下，我们要寻找的是边缘的模式。如果我们复制一份并旋转90度，这些边缘看起来和之前的边缘一样。举例来说，让我们设想一下，我们选择顶部边缘，其余部分则不确定。旋转副本并进行比较后，我们发现，要使它们相同，原始正方形的右边缘必须也在上面。但是，如果上边缘开启会迫使右边缘开启，那么按照同样的逻辑，右边缘会迫使下边缘开启，从而迫使左边缘开启。如果我们最初选择的顶边是偏离的，那么其他边的序列也会全部偏离。无论我们做出什么样的选择，它都会传染给广场的四面八方。因此，旋转90度的外观相似度是由单一的总体选择决定的：全开或全关。
与180度旋转相比，180度旋转基本上是将正方形分割成两个独立的子集。两条水平边在旋转中发生了交换，为了保持不变，它们必须完全相同，要么同时打开，要么同时关闭。垂直边缘也是交换的，也必须同时打开或同时关闭。因此，在这种情况下，我们有两个选项来指定可能的相似物。我们可以用一棵树来表示这些选择：在这棵树上，我们首先要确定是否有横向的边；然后，针对每种结果，我们进一步确定是否存在垂直边。最下面一排是180度旋转的四个相似图案。根据相应的公式，我们也可以计算出这个数字是2的二次方，即4。
在某些方面，三维案例更容易直观。考虑将立方体旋转90度。在这种情况下，立方体最上面的四条边会相互交换，因此它们必须分别处于相同的开或关状态。四个竖条都会被交换，因此彼此必须相同。最后，底边必须全部相同。因此，我们基本上有三个独立的选择，这意味着我们有2的3次方或8个可能的相似物。我们可以用一棵决策树来表示这些选择，其中第一个选择是立方体是否有顶部的正方形；每种情况下，是否有竖条；每种情况下，是否有底部方形。
如果我们顺着最后一条线，把每一个立方体都旋转一下，就会发现我们已经生成了所有不完整的开放式立方体，它们在旋转90度后看起来都是一样的。因此，我们知道有8种外形相似的人与这种特殊的转变有关。为了最终解决这个问题，我们计划对24种转换中的每一种进行相同的评估。从对称性上看，我们已经比你想象的走得更远了。这一行中的其他90度和270度旋转将有一组类似的8个相似点。因此，现在我们只需要考虑这一行的180度旋转。
让我们来看看上一个例子中的立方体分区。回想一下，在二维情况下，旋转180度会将正方形分成两对平行边。类似的事情也发生在这里：顶部的正方形被分成两个独立的子集，每个子集都不受180度旋转的影响。其他层也同样被分成两对。因此，总体而言，这就产生了6个独立的选项，即64个相似选项。您可以在这里看到一套：这些都是不完整的开放式立方体，绕纵轴旋转180度后看起来都是一样的。
这样，我们就可以为角轴的每一次180度旋转增加64个相似点，从而完成一排面轴的绘制。如果我们将轴垂直向上倾斜，会更容易看清我们在做什么：最上面有三条边，它们都会被交换，因此必须全部相同。还有一组类似的三条边在底角交汇。然后，我们就有了这个围绕中心的圆环，这就分成了三面：三面都会被交换，而且必须是相同的；而这三面（指另一组），也必须是相同的。总共有四种不同的选择，16种可能的开关组合，如这套组合所示。因此，我们可以在表格中添加一行16。
最后，让我们垂直倾斜边轴，从上到下进行操作：我们已经得到了顶部边缘本身；下面是一对V形对换手臂。因此，这两条边会被交换，而且必须是相同的；而这两条边也会互换，并且必须相同。在中线下方有一对边缘，下面是另一对交换相对手臂的V形结构；最后是底部的固定边缘。这样，通过边轴旋转固定的外观相似物共有7种独立的选择，即128种不同的形状。
填完最后一行后，我们不能忘记，什么都不做的行为总共为我们的总数贡献了4096个相似字符。因此，我们已经计算出了每种变换的“相似”数量，现在只需将其相加即可：5232。除以24就得出了最终答案：不完全开放立方体似乎有218个旋转唯一族。这个数字就是我们数学思维的快乐结论。很难确定卢伊特在解决这个问题的过程中会产生什么样的顿悟，但笔记中确实有可能闪现出洞察力的证据。
考虑艺术作品的整体组织，将立方体整齐地分成不同大小。卢伊特的许多笔记本页面都描绘了这份清单的早期版本：早期的尝试给人一种松散、半散乱的感觉，而后来的版本则变得更加规范，并有仔细的注释。它们共同为我们提供了他发现过程的高保真记录。通过比较早期和后期清单中的三部分方块，我们可以看到一个有趣的发展：请注意，在第二个案例中，卢伊特似乎发现了一个新的三部分立方体，而这是他之前所忽略的。
这是从哪里来的？请看这个由三部分组成的开放式立方体，让我们拿起一面镜子观察它的镜像。显然，这些形状看起来很相似，但卢伊特在某一时刻发现，它们无法相互旋转。每个形状都有一个镜像：显然，有些镜像对在旋转上并不等价；另一方面，请注意另一个由三部分组成的不完整立方体与其镜像是等价的。总的来说，这里似乎没有固定的规则：对于任何不完整的开放立方体，我们可以考虑它的镜像。有时，镜像在旋转上是等价的；其他时候，它原来是一个真正独特的形状。
这种领悟对于卢伊特来说是一种顿悟（Eureka），意思是突然在不经意间闪现的洞察力，瞬间改变了问题。我想说的是，这可能不是你逐渐意识到的那种事情；相反，我怀疑卢伊特是在一个非常特殊的时刻意识到镜像可以是截然不同的。而这一事件的标志是现有文献的突然变化：基本上是一夜之间，他的表格就有了突飞猛进的发展，因为他发现自己找到的许多立方体都有未被发现的旋转镜像。1974年初的某个时候，卢伊特的列举达到了最终形式；从那时起，我们可以说，他通过创作大量艺术作品，正式确立了自己的成果。
我们已经看到了不完整的开放式立方体表，它至少有两种不同的存在形式：但卢伊特也用其他一些创作来庆祝这一成果。他为每种变体制作了40英寸的铝制彩绘雕塑；他还创作了一系列等轴测图。评论家尼古拉斯-鲍姆（Nicholas Baum）将其描述为建筑手册和罗塞塔石碑之间的交叉。卢伊特对立方体最抽象的表现是将等距视图压缩成平面六边形，他将这些简化徽标列表去掉了任何立体感，只留下不完整的开放立方体的原始数据。
我刚刚制作了这部作品的电子版：我可以肯定地说，这个简约的文本表格其实超级方便输入相关数据。我为六边形的线条设计了一个编号系统，然后点击几下就把这个表格直接转录成了代码：这就是我的索尔-卢伊特。如果在输入这些数据时还要考虑三维立方体，会非常耗费脑力；但只需读取这些简明抽象的信息，就能轻松完成工作计算。通过他的想法，这位艺术家确实将他的发现以最有用的抽象形式呈现出来；卢伊特本人最终也实际运用了这种极简主义的表现手法。
这张表看似是另一项解决问题的工作，但请注意左下方的名单：这些是大型雕塑的制作者姓名。卢伊特就是用这张表来记录谁在做什么，他的简化逻辑图解法造就了一个完美、轻便的会计系统。我们的数学之旅取决于两个重要的观察结果：首先，我们注意到家庭数量与相似家庭数量有关；其次，我们顿悟到可以通过重新编制索引的技巧来公式化地计算这些“长得像”的人。原来，这是群论中一种更为普遍的计数技术——伯恩赛德定理（Burnside's Lemma）的一个例子。
除了不完整的开放式立方体之外，同样的逻辑也可以应用于很多情况：考虑一个不完整的开放四面体。按照列出变换和计算相似物的相同步骤，我们很快就能计算出有12个旋转唯一族的此类四面体。如果我们不选择“开”或“关”，而是选择给立方体的边缘涂上红色、黄色或蓝色，那么伯恩赛德定理告诉我们，我们应该能找到22,815种旋转唯一着色。在更复杂的情况下，该技术可用于计算魔方的独特位置可能性：鸟边定理（Burnside's Lemma）是一种通用的计数技巧，当你在装饰一个对称物体时想知道到底有多少种选择，就可以随时使用它。
从数学的角度来看，将我们的结果形式化实际上意味着为我们所有的断言提供正确的证明。我们的求解过程往往是混乱的，有很多直觉和枝节，我们现在必须回头去验证这些直觉和枝节。例如：一个立方体似乎有24个不同的方向，但谁又能说我们没有错过一些呢？我们需要证明这个数字是正确的。或者：我们注意到在全家福中，一个家庭的副本数量往往是完整的，但是我们怎么能确定这种模式没有例外呢？形式上正确的证明应包含上述每个结果的正确证明：首先是立方群的阶数是24，其次是所谓的轨道稳定器定理。
用严谨的证明捕捉我们的结果使我们的研究成果对他人有用，但也会让人觉得数学家的工作是形式化的、也许有点枯燥乏味。通过花时间了解数学探索的实际展开过程，我们看到了一个与艺术创作有很多共同之处的过程：包括猜测和实验、情绪起伏和创造性突破的时刻。最后，我们发现一定有218个旋转等价立方体族。如果我们恢复其他限制条件，这个数字会发生什么变化？堪萨斯州立大学2014年发表的一篇论文应用了详尽的计算搜索，证实在应用了所有限制条件后，索尔-卢伊特发现的122是正确的数字。
但有趣的是：虽然这个数字是正确的，但最后的雕塑中却出现了错误。标有104和105的立方体实际上是相同的完整开放立方体，是一个复制品；与此同时，这个立方体却不知所踪。当我第一次读到这本书时，我记得我觉得它有些完美：当然，如果勒威特犯了很多错误那会让人很扫兴；但如果他只是完全正确也可能会让人觉得有点无趣。结尾处不完美的小音符显得格外优雅：这就是数学家的作用吗？给作品打一个及格不及格的分数，并指出所有错误？当然这是数学家应该有能力扮演的角色之一；但就这一具体雕塑而言，我认为数学观点可以做出更丰富的贡献。
卢伊特的传记作者拉里-布鲁姆（Larry Bloom）写道，卢伊特对当代艺术的主要影响在于他提出了“思想产品比手工产品更重要”的观点：这是一件概念艺术作品。数学观点具体来说是一种以比较概念的方式参与艺术的方法，它为围绕这件作品的思想空间做出了贡献；我相信它也为我们欣赏这件作品增添了一些美感。用勒维特自己的话说，所有中间的步骤、涂鸦、草图、素描、失败的作品、模型、研究、思考、对话都是值得关注的。那些展现艺术家思维过程的作品有时比最终成品更有趣。