这是我在频道上发布的客座视频系列的第五部，也是最后一部。以防你们错过了第一部分，背景是这样的：今年夏天我休假了，我决定利用这段时间进入频道的 Patreon 资金，委托一些我非常兴奋想与这个特定观众分享的优秀创作者制作客座视频。顺便提一下，我现在已经回来开始制作自己的视频了，目前正在创作一个关于拉普拉斯变换的三部曲系列，其中第一部已作为频道支持者的早期预览版本提供。只是顺便提一下这个事。这最后一部客座视频可能与频道一贯的风格大相径庭，但我依然像往常一样确信频道的观众会 thoroughly 享受它。

这段内容来自本·西弗森（Ben Syverson），他是一位非常有才华、我认为也被低估的创作者，专门制作关于数学和科学历史的精彩迷你纪录片。这里的内容改变了我对欧几里得及几何史的看法，也许它也会对你产生同样的影响。这是人类历史上最具影响力的数学著作——欧几里得的《几何原本》。在两千年的时间里，它是绝对数学真理的最高权威，是古希腊精确推理的持久象征。但希腊人并不像我们今天那样对待数学。他们的方法与现代实践中一些最重要的规则背道而驰。然而，欧几里得在《几何原本》中采用的方法直到 17 世纪都是发现数学真理最成功的方式。

尺规作图。但是，像这样的物理工具怎么可能成为进行抽象数学的可靠方法呢？理解希腊人真正在做什么，始于一个任何曾在几何课上使用过尺规的人都可能问过的问题：这有什么用？这些作图究竟是为了什么？大多数人可能会假设，尺规基本上是一种画出更好看形状的方法。如果你没有电脑，这是一种 quaint（古雅/过时）的做法。虽然这在某种程度上并非完全错误，但对于古希腊人来说，这远非故事的全部。对他们而言，图表不仅仅是附带的示意图解。它们是证明推理过程本身的一部分。

这与我们今天做数学的方式不同。如今，每一个逻辑假设都需要明确陈述，就像一行代码一样；在证明完全独立于任何图表之前，它不被视为有效。但在欧几里得的《几何原本》中——这是公元前 300 年左右希腊数学的汇编，情况则有所不同。在欧几里得的第一次证明中，他做出了一个现代数学家会认为未陈述的假设，基本上是一个错误。要找出欧几里得在《几何原本》命题一中遗漏了什么，你还必须了解他的明确假设是什么。

在他写出任何证明之前，他列出了一些定义、五个称为“公理”（common notions）的逻辑假设，以及五个关于几何的称为“公设”（postulates）的假设。在证明中使用这些中的任何一个时，它们都会显示在屏幕上。我们可以将这个命题读作使用尺规构造等边三角形的食谱。你从线段 AB 开始。当你以 A 和 B 为圆心，AB 为半径画这两个圆时（就像这样），你就会得到这个交点。连接这些点给出了每个圆的另一个半径。当然，我们知道圆的半径在任何地方长度都相同。

所以这个等于那个，而这个也等于那个，因为等于同一事物的两个事物彼此相等（这是公理之一）。欧几里得证明他构造了一个等边三角形。你注意到那个未陈述的假设了吗？你永远没有证明这两个圆相互重叠。这应该是另一个公理。应该有其他东西说明我们如何知道两个圆何时重叠以及何时不重叠。但还有另一种看待这种方式的角度。与其说依靠图表犯了错误，不如说希腊人可以说是利用这一系列步骤来构建等边三角形作为证明本身的一部分。

这是维克托·布拉斯约（Viktor Blåsjö）的观点，他是播客《数学史观点》的主持人，该播客有一季共 18 集关于欧几里得《几何原本》和几何史的内容。当人们说证明中存在漏洞时，我认为这是一种时代错置的思考方式，即存在性需要通过新的公理来确保。那是现代逻辑迷们认为应该有的样子。但在时代精神中，我们应该开始将数学证明视为与希腊人的对抗性辩论传统一同兴起的事物。

有人试图证明一个主张，并面对着一个想要反驳他的怀疑论者。证明者在说：“现在执行这些步骤。”然后要求怀疑论者执行这些步骤，并且他刚刚亲眼看到自己画出了这个图形。接着，怀疑论者应该会说：“哦不，我认为它们不相交。”这是没有可信度的。你知道的，你就把它扔在那儿了，它就在那里。任何人都能看到，你看一眼就会让自己看起来很可笑。在现代数学中，你把怀疑论者想象成一台逻辑机器，它只是在处理公理，就像一台进行计算的机器那样。然后，“哦，这里没有公理，错误。”但这不是这种情况。

我们必须可视化的背景是，你必须思考我们进行这些步骤的程度。如果怀疑论者想说：“我认为它们可能不相交”，那么举证责任在于他，必须提供一种可信的方式让你怀疑这些圆是否相交。但如果你就在眼前画出了它们，而且显然它正穿过对方，你没有任何可信的说法来绕过这个明显相交的事实。你知道的，任何正常人都能接受这一点。通过遵循《几何原本》中的步骤，我们的构造无可辩驳地拥有两个相交的圆。否则就不可能创建这种构造。

但是我们要如何决定图表中什么是显而易见的，什么不是呢？我的意思是，我们不能只看这个图表就说三角形显然是等边的，因为那根本就不是证明。那么为什么我们可以用图片来确信圆相交呢？这是一个不精确的属性，因为绘图不需要是精确的才能交叉。显然，然而，你想要证明的是这是一个等边三角形，即所有三条边的长度完全相同。嗯，这不一样。

也许其中一个的长度是另一个的99%。我不知道，这并不自明。显然，这是需要用理性论证来确立的事情。就像欧几里得所做的那样。对于希腊几何的这种解释来说，这是一个关键的区别，这将在后面再次出现。因为欧几里得从不基于图表确立相等的精确属性，但他确实允许将图表用于非精确或拓扑属性的判断。例如点是在图形内部还是外部，或者点在直线上出现的顺序。这种几何方法使得书面证明和图表能够并肩工作，分担任务。那些在口头演示中不切实际的证明部分，改为通过图表来展示。因此，这些图表不仅仅是逻辑论证的补充插图，它们实际上是证明本身的一部分，怀疑论者需要对此进行反驳。

但为了使这种方法有效，我们不能随便画一张图就开始做几何运算。我们的图表需要遵循规则。因此，《原本》中指定的每个对象，其构造都由一组精确的步骤给出。如果书中说“等边三角形已作出”，那么它是让你回顾命题1，那里给出了构造等边三角形的步骤。从这个角度来看，等边三角形并不是漂浮在永恒柏拉图领域中的某种完美实体。在你按照步骤制作出等边三角形之前，它根本不存在，这就像是一些代码行输出的结果一样。

但鉴于希腊数学家没有写过关于他们的思想和感受的文章，我们是从他们的工作技术内容中推断出这些结论的，那么从关于等边三角形的一个小命题中就得出这么多推论确实有点牵强。所以让我们看看欧几里得接下来做了什么，因为很快就会发现其中还有更多含义。如果直尺和圆规的目的仅仅是制作精确的图表，那么接下来的命题就没有任何意义了。命题2：在给定直线的端点处放置一条等于已知线段的直线。有人在纸上画了一条线段，现在你想在纸上的其他地方画出同样长度的线段。欧几里得通过非常复杂的构造完成了这一任务，那就是命题1。它涉及画几个圆和一个等边三角形。确实非常优雅地达到了你所需的效果：给定的线段已在新的位置上被复制出来，具有精确的数学精度。你可以证明你所知道的一切：等边三角形、圆的半径都相等，经过各种逻辑步骤表明这是正确的。

这实际上是我可以用圆规拿起并放到另一个位置就能做到的事情。但欧几里得表现得好像这不可能做到一样。有人可能会说，欧几里得的圆规是可折叠的。在画特定的圆时，圆规保持固定的开口角度；但一旦从纸上抬起，它就会折叠或闭合。当然，现实中并不存在可折叠的圆规。因此，AL也等于BC。这里的寓意是：我最初的那条直线与这条直线相等。这一切非常整洁，但也相当奇怪不是吗？这似乎完全脱离现实。如果工匠、工程师或建筑师需要转移长度，他们绝不会使用欧几里得这种绝对巴洛克式的程序。

那么，我们在这里做什么呢？如果每次我们要复制长度都遵循这些步骤，即使是最简单的图表也会变得极其复杂。但如果欧几里得的构造是为了服务于理论目的，那么事情就开始清晰起来。命题2变成了你可以添加到工具箱中的另一个经过验证的操作。因此，每个构造就像一个小模块或子程序。它是一段证明，确认了仅使用初始公设和共同概念就可以合法地构造出该对象。欧几里得的这种构造版本适用于任何涉及复制长度的情况。所以它并不是说你必须每次都这样做，而是每当我们要复制长度时，我们可以调用命题2来证明这确实是从公设中可构造的。

但为什么欧几里得需要如此严谨呢？希腊人的什么特质让他们如此执着于证明事物？埃及和美索不达米亚等文明几个世纪以来一直在为丈量土地、征收税款和建造金字塔等服务而进行数学运算，但他们从未写过证明。第一个写下证明的文明是希腊人，最早的证明出现在公元前600年左右。对希腊人来说，数学仅仅有用是不够的；他们希望几何学解决深刻的哲学问题，因为当时哲学是核心领域。希腊人有着对抗性辩论的文化，绝对真理的本质受到激烈争论。虽然人们为各种疯狂的想法争辩不休，但出现了两个我们今天仍在思考的主要阵营：首先是理性主义者，以柏拉图为代表，他们认为唯一可信的是直觉。在这种观点下，形状存在于完美的理念世界中，不受世俗缺陷的玷污；其次是经验主义者，通常与亚里士多德联系在一起，他们认为对世界的观察是获取知识的唯一途径。

但这些相互冲突的观点注定会导致无休止的争论。他们的观点归根结底是关于世界如何运作的信念，因此一方永远不会彻底战胜另一方。但在这一无休止的辩论中数学家们找到了一种利用构造来回答哲学家异议的方法。这让他们构建了一个一致的智力框架，甚至局外人也可以测试并 conclusively 证明其对错；这也意味着他们的领域可以发展出新的无可辩驳的知识，并将那些争吵不休的哲学家抛在身后。在一个充满不确定性的世界里，数学——特别是几何学——将成为绝对真理的无可争议的来源。

这些是有关作图的基本假设。如果我们同意直尺可以画出一条直线段，并且如果需要的话可以将其延长；同时也同意像圆规这样的工具可以根据给定的中心和半径画出一个圆，那么我们就确立了前三条基本规则。任何起始假设都必须足够简单且合乎情理，并且不能包含矛盾。将公理化建立在物理动作之上解决了这些问题，这正是直尺和圆规所实现的。它表明欧几里得的公理并非某人凭空捏造的东西，我们知道人们可以编造出不一致的理论。因此，借助直尺和圆规，我们现在声称拥有基于这些公理的几何体系。此外，

这些公理在物理现实中得到了体现。因此，它们必须与物理经验本身一样具有一致性，而物理经验的可靠性记录优于人类思维和单纯的想象。仅仅在脑海中凭空捏造事物具有不可靠的记录，许多人在这方面都未能做到完美无缺，而直接经验则充满了矛盾。你知道，自然界不会自相矛盾。我们知道前三条公理是一致的，因为我们可以现实世界中构建它们。只要直尺仅用于画直线（不允许测量），圆规仅用于画圆，那么其他必要的假设都隐含在这些作图中。

直线和曲线是连续的，因为它们是由连续运动形成的。当它们相互交叉时，会在一个点上相交。《几何原本》继续用直尺和圆规作图构建它所使用的每一个几何对象，随后证明其有效性。因此，在某种意义上，直尺和圆规变成了从基本公理构建几何知识的工具。但如果这些作图旨在嵌入欧几里得几何的哲学中，那么希腊数学家们就面临着一个大问题需要面对，因为当时人们都知道图表可能存在细微的错误，从而毁掉整个证明。

如果错误混入几何定理中，那么不仅证明是错误的，而且可能会破坏几何学的可信度。因为如果一种思维体系被证明会犯错，你如何信任它呢？这里有一个例子：我要向你证明有些直角不等于其他直角。要明确的是，这完全错误。事实上，欧几里得的第四条公理说所有直角都相等。但在这个证明中，每一步背后的推理都是完美的，除了一个细微、几乎看不见的错误

毁掉了整个事情。这是一个正方形，它有四个相等的边和四个直角。我要在这里画一条线，我测量过它的长度与正方形的边长相同。然后我将这个点连接到那个点。所以，这、这、这、这以及这些都是全等的。接下来，我画这条上边的垂直平分线。然后我再画下面那条边的另一条

垂直平分线。接着连接这些点，我在这里形成两个三角形。这下面的是一条垂直平分线，这使得这两条边相等。同时，由于它是垂直的，这个角也等于那个角。最后这条边是两个三角形共用的。所以边角边（SAS），这两个三角形全等。这意味着

这条长度等于那条长度。接下来，我要在这里画一条线，也在那里画一条线。如果我再次看这两个三角形，这是一条垂直平分线。所以这条长度和那条长度相等。这条线在两个三角形之间共用，并且它是垂直的，这使得这两个角相等。正因为如此，

这两个三角形全等。这意味着这条边和那条边也相等。好的，到目前为止，我们有两个对的三角形，每一对都不可否认地彼此全等，因为它们来自画这些垂直平分线。这也意味着每对的第三条边也是全等的。所以现在这个三角形和那个三角形也具有彼此之间的边边角（SSS）全等性。嗯。但这是一个直角加上一些

其他角度，我称这个测量值为阿尔法（alpha）。我们知道这里也是相同的，因为这些是全等三角形。所以是直角加阿尔法再次出现。但是这个直角比另一个大，因为这一小块额外的部分。那么发生了什么？好吧，因为我的垂直平分线画得稍微有点偏差，图表让右边的三角形看起来基本上

与左边的三角形对称，而不是完全像这样在正方形的外部。由于正方形的直角不再位于三角形的内部，证明彻底崩溃了。这就是为什么现代数学如此严格地避免使用图表的原因。那个关于三角形位置单一隐藏假设给了我们一个允许我们证明不可能结果的图表。

但希腊人使用直尺和圆规作图的做法为这个问题提供了解答。因为如果你按照《几何原本》中的配方正确构建那个错误证明的图表，你就会避免我在徒手画图时犯下的细微错误。即使你的作图有一定的误差范围，遵循《几何原本》的步骤仍然能给你

确定这些不精确属性所需的精度，比如哪个点位于哪种形状的内部或外部。在欧几里得《几何原本》的背景下，如果像这样的图表没有经过正确构建，它实际上就不存在，或者至少不能用于证明。事实上，欧几里得在《几何原本》中非常谨慎，只使用他已经展示过

如何构建的形状。随着他证明新的定理，他会引入这些新工具允许他建造的新形状。但这带来了一些惊喜：看起来应该很简单但实际上并非如此，例如正方形。如果你问我如何用欧几里得的命题构建一个正方形，而我一无所知的话，我可能会说最简单的方法大概是

这样的：画一条线段。构建另一条与第一条相等且垂直的线段，使用命题11，然后就这样再做一次，再重复一次，你就得到了一个正方形。

但当需要证明这确实是一个正方形时，我们就遇到了问题。因为要确保与第一条相对的边真的和原始边长度相同，我们需要对平行线说些什么。欧几里得等到第一卷过半之后才最终使用他最著名也最具争议的公理，即第五公设——平行公设。

与其他公设不同，第五公设并不简单或直观。甚至其表述本身也显得奇怪地绕口：“如果一条直线落在两条直线上，使得同侧的内角之和小于两个直角，那么这两条直线在无限延伸后，会在内角和小于两直角的这一侧相交。”这是关于非平行线的陈述。但取逆否命题可得到关于平行线逻辑等价的信息：只要两条直线不相交，则角度之和等于180度。如今我们通常这样表述：对于任意一条直线和线外一点，有且仅有一条通过该点的直线与第一条直线平行。

但在尺规作图的语境下，第一种表述与其他两种并不相同，因为无法通过物理手段验证直线是否永远延伸且永不相交。如何检验“永不”？尽管欧几里得的定义称平行线为两条永不相交的直线，但在要求人们接受关于它们的假设时，他通过将其表述为可构造的形式来避免检验“永不”的问题。只要两条直线被一条截线穿过且相互收敛，它们最终就会相交。这是一个在物理上可检验的断言，尽管在实践中可能需要额外的空间。

即便如此，这也不是实证科学，因为该公设让欧几里得能够推导出关于平行线的定理，而这些定理在物理上是无法检验的。我们实际上无法画出永远延伸且不接触的直线，尤其是在地球这样的球面上。因此，欧几里得使用物理上可验证的原则来发展一种超越实证观察范围的理论。这种方法既不同于柏拉图式的理性主义，也不同于亚里士多德的经验主义。

一旦他在命题29中首次引入平行公设，所有后续的定理和构造都需要它才能存在。这种《几何原本》的累加结构揭示了那些我们可能认为简单的形状中隐藏的复杂性。因此，欧几里得构造正方形的方法比我的复杂得多。事实上，当我按照他的步骤操作并包含之前命题中的所有子程序时，仅画一个正方形就花了将近10分钟。

命题46：“在已知直线上作一正方形。”设AB为已知直线。“从点A引AC垂直于直线AB。”为了得到直角，我必须回到命题11。命题11：“过已知直线上一点作该直线的垂线。”设AB为已知直线，C为其上任意取定的一点。作CE等于...并构造等边三角形FDE。使AD等于DE，过点D画平行于...的直线（命题31：过已知直线上一点作该线的平行线）。我得先做内错角。设DA上的角DAE等于已构造的角ADC（命题23）。回到命题46。过点D画DE平行于AD，并过点B画BE平行于AD。这两边平行，另外两边也平行。且该角相等。因此我们得到了一个四边相等、四个角均为直角的正方形。

这里的关键步骤是，在画出第二条与第一条垂直且等长的边后，第三条边被构造为平行于第一条边，第四条边则平行于第二条边。这使得他能够利用已确立的平行四边形性质，指出对边和对角彼此相等。

使用我更简单的正方形构造方法，如果不援引平行公设，我就根本无法证明它是正方形。但情况实际上更糟：如果没有平行公设，正方形就不存在。如果平行公设为假，人们可以证明这种构型并不能形成正方形，而是形成一个形状怪异的四边形。因此，尽管你确保四边形的底部有直角且垂直边相等，第四条最终边在某种意义上仍然未能到位。它形成了非直角，仿佛侧边有些弯曲。

这并不是说希腊数学家怀疑正方形是否存在，也不是说欧几里得以某种方式预测了非欧几何（他并没有）。而是说，欧几里得结合构造过程与公理化演绎证明，来确定几何知识的基础。他系统地编目了制造如正方形之类物体之前所需的所有假设。因此，《几何原本》不仅仅是一系列附带构造子程序的证明集合，它是任何几何对象所需精确成分的分类法，是几何宇宙的家谱。

通过这种分析，欧几里得能够精确地确定整个希腊几何体系所需的基本起始假设。除非你将正方形拆解并在显微镜下观察，否则很难明显看出它需要平行公设为真才能成立。

但在几个世纪里，其他数学家确信欧几里得犯了另一个错误，即把第五公设称为“公设”。这条关于两条直线相交的复杂预测看起来更像是一个应该被证明而非接受的定理。在欧洲遗忘《几何原本》的中世纪黑暗时代，只有中东地区的人积极研究它。阿拉伯数学家伊本·海赛姆和波斯学者奥马尔·海亚姆都试图将平行公设证明为定理。他们并非最后尝试的人，许多人试图以此方式改进欧几里得的工作。

约1800年，拉格朗日和勒让德等人提出了所谓的平行公设证明。这些是著名数学家，他们的名字被镌刻在埃菲尔铁塔上，属于精英阶层的荣耀。但即使是这些大人物也错了。他们的证明包含隐藏的错误。令人惊讶的是，这在欧几里得之后两千多年才被发现。人们试图改进欧几里得的工作长达数千年。事实是，欧几里得一直是对的：平行公设确实需要作为一个独立的假设存在，正如欧几里得所设定的一样。它不能从其他公设中推导出来。

正如许多数学家在那几千年间所错误相信的那样，公理体系并非无懈可击。希腊人，你知道的，那些人真是与众不同。在平行线理论中犯细微错误是如此容易。历史表明，有一百种方式可以制造出连最杰出的数学家都会上当的微小且隐蔽的错误。顶尖数学家在其他任何问题上从未出错，却在这个单一议题上绊倒了脚，而欧几里得不知何故完全正确地解决了它。他没有犯后来数学家们所犯的哪怕一个错误，在我看来，这并非运气使然。可以说，希腊人作为基础几何学家比1800年的巴黎精英更为精妙深邃。难以置信，但确有其事，《几何原本》之所以成为经典绝非偶然。

欧几里得并非因为某种懒惰的欧洲中心主义特权而成为精确推理的象征，不，《几何原本》真的就是那么好。欧几里得对正方形的构造直接引出了第一卷的高潮证明，即勾股定理及其逆定理。此后，欧几里得又用五卷篇幅讲述平面几何，随后在第7至10卷转向数论，其中给出了素数和无理数的理论。即使在数论中，欧几里得也为每个证明配上了图形，这似乎暗示着数字从属于几何。毕竟，数码无法精确表示像根号2这样的无理数，但几何构造却能轻松展示这种长度。

最后三卷涵盖三维几何，以正五面体的构造及其证明作为高潮——即它们是仅能用正多边形构建三维图形的五种唯一方式。但这并非单个人的工作，而是数代希腊数学家、其他数学分支以及欧几里得之前存在的各种“原本”的集大成者。然而，唯有他的版本幸存下来，因为其无可挑剔的结构使其他版本变得过时。这本书及其核心的尺规作图体系，在接下来的两千年里充当了绝对数学真理的仲裁者。

在中世纪，基于《几何原本》发展的中东学者建立了强大的经验科学，为现代科学方法奠定了基础。一旦欧洲人重新开始阅读欧几里得，尺规作图便被视为通往绝对数学确定性的唯一途径。即使代数这一强大的伊斯兰创新传入欧洲，欧洲人仍认为其严谨性不及几何学，仅将其视为实用工具或寻找正确答案的数学把戏。几个世纪以来，他们对代数持怀疑态度，因为它使用符号而非欧几里得几何中可物理验证的程序。

17世纪，当勒内·笛卡尔大胆地为点赋予坐标值时——这是解析几何的开端——他仍然用构造法来证明其工作的合理性。对他而言，尺规就像一种信任机制。他的哲学是怀疑一切，但他甚至没有怀疑欧几里得的公设。笛卡尔走得更远，创造了比尺规更复杂但服务于类似构造目的的新式圆规机械装置。他旨在为超越尺规作图范围的高次曲线数学带来绝对确定性。

因此，即使他揭示了用代数进行几何的力量，他仍然无法放手构造法。尽管摆在他面前的是替代方案——你知道的，用代数来做这件事，将代数提升到根本基础地位，正是他展示了这可以轻松做到——但他依然拒绝。他站在天堂门口却自我否定，说着“不、不、不，那是错的，我们应该这样做”。他坚持这种古典风格，尽管他自己内心已有动摇。但很快，作为数学哲学基石的构造法统治必须终结。

19世纪意识到存在平行公设不成立的合法几何形式，加上该世纪其他看似矛盾的发现，导致了对数学基础的深刻反思。数学日益转向形式逻辑，如今这体现在计算机系统中。像Lean这样的计算机化证明检查器服务于与古代希腊持怀疑态度的尺规使用者类似的目的：不再依赖直觉或抽象思维，而是需要工具将抽象推理扎根于系统化、可验证的程序中。

正如欧几里得的情况一样，基于基本起点的小型操作形成子例程，构建出越来越大的程序结构。但欧几里得的基本运算是直线和圆，而我们的基本单元是0和1。在理解欧几里得通过构造法真正想要表达的内容，与我制作程序动画视频的过程之间，存在着强烈的平行关系。那种感觉非常现代的东西——比如想在计算机上实现它——实际上可能更反映了历史上人们与数学的关系。

我并不是程序员，但有很多相似之处：实际实例化某物会改变它在脑海中的形态。我确实找到了这种核心思想。