[请在 criblate.com 提交字幕修正] 你正在看到的这张略显复杂的图表，是我们将在本视频中逐步构建的。它是对微分方程研究中最为强大的工具之一——拉普拉斯变换（Laplace transform）背后含义的可视化解读。
这是一种典型的工具：作为学生，你可以学会如何使用它来求解方程，却对它实际在做什么完全一无所知。这就像学习如何开车与学习内燃机的工作原理之间的区别。两者都是值得追求的目标，一种并不必然优于另一种，事实上开车可能更实用。但是
打开引擎盖并理解内部机制会带给人一种深层的满足感。同样，本视频的主要目标是打开引擎盖，向你展示这个对象内部等待我们的那些美妙的数学。严格来说，如果你的唯一目标只是求解方程，那么我想展示的许多内容并非必需。话虽如此，对于
你们中那些学习微分方程的学生来说，我认为这里的内容会让你需要死记硬背的东西变得更加难忘。在拆解这台机器并逐件研究之后，我们将带着一切进行一次“试驾”，看看求解一个具体且非常有趣的微分方程是什么样子的。现在，在我直接把定义
放在屏幕上之前，让我们谈谈拉普拉斯变换试图解决的问题。我们在上一章中已经建立了很多基础，这里有两点主要思想值得重申。第一，你需要理解指数函数，我将始终把它们写成 e^(st) 的形式，其中 t 代表时间，而 s 是一个数。它决定了我们谈论的是
哪个特定的指数函数，但对于本主题来说非常重要的一点是，我们将赋予 s 取复数值（complex number values）的自由。我们在上一章中更透彻地讨论过这一点，但简要总结如下：如果 s 具有虚部（imaginary part），随着时间推移，你函数的输出将在复平面
上旋转。当 s 的实部为负时，其幅度随时间衰减至零；但如果它恰好为正，则意味着
幅度增长，即指数级增长。如果上述任何内容让你感到不确定，或者你想了解其成立的原因，请观看上一章的内容，但从这一点开始，我假设大家都对这一概念感到舒适。那么，我们为什么关心这个呢？为什么要对这些函数如此大张旗鼓（hubbbub）？
这是因为你需要知道的第二件事，即许多函数——特别是那些源于物理学的函数——可以表示为指数片段的组合。这里有一个非常友好的例子，将在本课程中反复回顾，那就是余弦函数 cos(t)。这个波动（undulating）的函数可以分解为两个纯虚指数函数的和。
基本上，如果你取 e^(it)，它会让你逆时针旋转；而 e^(-it) 则向另一个方向旋转，所以当你把这两个加起来时——也许可以想象为将两个旋转向量首尾相接相加——它们的虚部相互抵消，而你剩下的东西其输出始终锁定在实数轴上
，来回振荡。现在，就目前的求和而言，它在负二到正二之间变化，但余弦函数只在负一到一之间变化，所以最后
你将所有内容乘以二分之一。更复杂的函数可能会分解成更多的指数片段。例如，在本课程的后半部分，我们将深入研究所谓的“受驱谐振子”（driven harmonic oscillator），这基本上是一个弹簧上的质量块，受到某种外力影响，在我们的案例中
是一种随时间振荡的外力。作为剧透（spoiler），描述该方程的解最终看起来像是四个指数片段的和。其中两个片段以与弹簧固有共振频率相匹配的方式振荡并衰减，而另外两个则以与外力匹配的方式进行振荡。因此，对于这种情况和许多其他情况
我们想要的是一种工具、一种数学机器，你可以将函数输入其中——甚至是描述该函数的微分方程——而这台机器将以某种方式向我们揭示
该函数分解成了哪些特定的指数片段。也就是说，它暴露了指数中这些 s 值都是什么，以及相应的系数是什么。现在你可能会问为什么是指数片段？为什么不关注其他东西呢？简短的回答是
对于这些函数，当你求导时，它看起来与乘以某个数完全相同，即 s。你将在最后看到这意味着什么：同一台让我们将函数分解为指数片段的机器，也允许我们将微分方程转化为代数运算（algebra），本质上是因为在你看到导数的任何地方
它都变成了乘以 s。现在，在这样一个我们如此专注于复值指数函数的背景下，工程师们对我左侧描绘的这个代表指数中 s 项所有可能值的复平面有一个特殊的名称。他们称之为，嗯，“s-平面”（the s-plane）。一个有用的心理图像是
将 s 平面上的每个单独点视为编码了整个指数函数 e^(st)。对于这张图片，我显示的图表仅描绘输出的实部（real component），但请记住，每个点都代表完整的复值函数。不过这些图表足以提供直觉（intuition）。你会注意到
较大的虚部对应于更快的振荡，而当你的眼睛从左向右扫描时，实部分别反映了衰减或增长。因此，以我们的目标为基准
我们今天将要构建的那台机器——即揭示函数如何分解为指数片段的机器，正如你毫无疑问已经猜到的那样——就是拉普拉斯变换。现在，“transform”（变换）这个词有点奇怪，基本上就像函数是输入一个数并输出一个新数的东西一样
我们经常用“变换”这个词在数学中表示一种更元操作（meta operation），它输入一个完整的函数并输出一个新函数。在拉普拉斯变换的情况下，通常的惯例是使用原始函数名称的大写版本来命名我们的新函数。在这种设置中
由于我们的原始函数以时间为输入，新的变换函数具有一种全新的不同类型的输入：复数值 s。我认为这很
在正式引入定义并深入剖析之前，快速预览一下这个新函数的实际作用是非常有益的。假设你的原始函数 f(t) 确实可以分解为几个指数部分的和。当你应用拉普拉斯变换时，会得到一个关于新变量 s 的新函数。如果你按照我稍后解释的方式在复平面（s-plane）上绘制这个新函数的图像，你会看到在每个对应于这些指数部分的 s 值上方出现尖锐的峰值。
这些尖峰有一个专门的名字，称为函数的极点（poles）。因此，即使你事先不知道如何将函数分解为指数之和，只要理解这个变换后的版本，特别是理解极点所在之处，就能揭示出那些隐藏的指数成分。此刻你大概迫不及待想看看这个函数究竟是如何定义的，其完整形式如下，我们可以将其视为两个独立的步骤：首先将你的函数乘以表达式 e^(-st)，然后将结果对时间从 t=0 到无穷大进行积分。
我们将稍后详细讨论这个积分及其细微之处，但此刻请专注于内部表达式中的项。这里的 s 是新引入的参数，也就是我们新变换函数的输入变量。正如我之前所说，它是一个复数。在本视频中每次看到字母 s 时，它都代表一个复数。我喜欢这样理解：你可以想象在 s-平面上自由移动这个值 s，它就像是在四处探测，寻找与我们函数 f(t) 紧密吻合的特定指数函数。
例如，假设我们的函数是余弦 t（cosine of t）。正如我们刚才讨论过的，我们已经知道它可以分解为两个指数 e^(it) 和 e^(-it) 的和。我之前已经预告过，当你绘制最终结果时，应该在关键 s 值上方看到这些尖峰。在这个例子中，这意味着在 +i 和 -i 上方会有极点。通过代入余弦 t 的展开式，你可以获得一些直观的理解。
观察这个展开式，我想让你花点时间思考这两项的乘积。当你相乘两个指数函数时，它们的指数内容会相加，因此你剩下的是 e^((i-s)t)。我将在右下角绘制该值，同时在右上角保留 s 平面。就像我们已经看到的指数函数一样，随着时间从零增加到无穷大，这项会振荡并衰减，或者可能会增长。具体的形状取决于我们如何设定 s 的值。
在这种情况下，当你移动这个值 s 时，有一个特定的值会导致独特且“无聊”的行为。如果你设定 s=i，那么指数中的该项变为零，整个函数看起来就像 e^0，即固定在常数 1。这对于几乎所有 s 值来说都是一个关键概念：像这样的指数函数通常会随时间变化，通常表现为某种螺旋线；但在我们寻找的特殊值处（在本例中为 s=i），情况变得固定在一个常数上。
退一步讲，如果你是一位数学家，试图发明某种机器来检测潜伏在函数内部的指数成分（例如检测到余弦中潜伏着 e^(it) 和 e^(-it)），你可能会问自己：有没有什么方法可以检测出这种求和中的一项实际上是常数？本质上，这正是包裹在完整定义中的积分所扮演的角色——随着时间从零到无穷大进行积分。
一方面，如果你熟悉微积分，你可能能够预见为什么这会在期望的 s 值上方产生尖锐的峰值。如果你从零一直积分到无穷大一个常数，结果会发散（趋于无穷）。但这里其实有很多细微之处。首先，积分内的函数取复数值。这引发了一个自然的问题：对于那些渴望以令人满意的方式解释事物的人来说，你该如何思考对复值函数的积分？
如果你愿意接受挑战，我想在接下来的十分钟左右的时间里深入挖掘并剖析这样的积分究竟意味着什么、如何可视化它，以及解释为什么我展示的图表代表的含义与这个积分的字面意义略有不同。像任何新的数学知识一样，最好从简单开始并逐步增加复杂度。因此，为了开启话题，让我们暂时忽略函数 f(t) 本身，只专注于积分 e^(-st) 部分。
为了热身，在跳入其复杂性之前，让我们假设 s 是一个实数，这意味着这是一个友好的、可以用常规图形绘制的实值函数。通常当你初次学习微积分时，你学会将积分解释为图形下方的面积。例如，如果设定 s=1 并执行计算该积分的实际程序——即取反导数、在两个不同边界处取值相减（由于存在无穷大，可以说是在该边界取极限值）——最终结果得出这个表达式等于 1。
你可以将其解释为图形下方的面积为 1，这很有趣。我想这意味着这个无限尾部的总面积正好足以填满剩余的单位正方形区域。然后如果我们重新引入 s 并设定其不等于 1，效果是在水平方向上压缩图形。只要将函数的输入乘以某个常数，就会产生这种效应。因此，原本为 1 的图形下方的面积现在必须变为 1/s。
我想让你记住的关键点是：如果我们让 s 越来越小并趋近于 0，那么面积会变得越来越大，实际上趋于无穷大，而且逼近速度相当快。但图形不是可视化函数的唯一方式，面积也不是理解积分的唯一途径，你应该养成稍微灵活思考的习惯。让我展示另一种思维方式，一旦让函数取复数值，这种方式将更容易推广。
考虑这个在 0 到 1 之间的积分（长度为 1）。我想让你想象所有这些……
将图像下的面积想象成一池水，让其自然晃动直至水平。这水池的高度告诉你函数在0到1之间的平均值。因为池宽仅为1，所以面积等于高度。因此，当积分在单位区间上时，它表示函数在该区间的平均值。类似地，从1到2的积分告诉你函数在1到2区间内的平均值。随着你在其他单位区间上继续积分，情况相同。因此，如果你想求从0到无穷大的积分，你可以将所有这些区间上的平均值加在一起。这是我们可以处理的事情。
现在让我们看看复数情况。S是一个复数，当时间从0增加到无穷大时，函数e^(-st)在复平面上循环并衰减。它具体如何循环、衰减或增长取决于s的值，我们将为每个值在复平面上得到一条独特的路径。现在如果你想在单位区间上积分这个函数，比如从t=0到t=1，想象取该范围内所有输出的样本，然后找到它们的平均值或质心。这个平均值就是这个积分的含义，我将用一个小箭头表示它。
实际上，把这个积分放在右下角的独立复平面上会更有帮助，因为我们即将开始将它们全部相加。如果让t从1变化到2并做同样的事情，取该区间的平均值并用箭头表示它，然后将该箭头加到我们右下角已有的结果上，得到的和基本上告诉你从0一直到2的积分。然后我们重复这个过程：取2到3的平均值并加上，取3到4的平均值并加上，就这样一直持续下去。
你所看到的螺旋求和的极限点正是e^(-st)从0到无穷大积分的值，这正是我们要理解的表达式。当我们围绕输入s移动时，这个螺旋求和的结果值可能会在复平面上游荡。作为一个快速检查，让我把s的值移到输入1上。因为没有虚部，所以没有振荡，你会注意到所有这些小的箭头堆叠起来最终落在数字1上。这应该是有道理的。
当我们以更熟悉的方式将积分解释为曲线下的面积时，我们看到当s等于1时，这个值算出来是1。就像之前一样，如果我让s趋近于0，变得越来越小，那么 resulting 积分变得越来越大，迅速趋向无穷大。在这个新图中，我们可以看到如果s以不同的方向远离0移动（垂直向上）， resulting 积分也会变小，但原因大不相同。函数中的所有振荡在向量求和中提供了更多的抵消作用，所以输出更接近0。
接下来我要做的是绘制这个值。看看我们的螺旋求和收敛的那个点，我希望你把它想象成复平面中的一个向量，具有大小和方向。为了更有趣一点，让我们取那个大小，并将其绘制在s平面中值s的上方。当我改变这个值s并它改变了 resulting 积分时，我们输出的大小可能会增大或缩小，随着它的变化，我们将结果绘制在s平面上。我只是暂时让它自动运行，让s在平面中游荡。
当它这样做时，花点时间思考为什么我们会看到这些形状。基本上，s的虚部越大，表达式中的螺旋运动就越多，意味着更多的抵消作用，所以输出的大小就越小。如果我在许多可能的s值上绘制完整的图，它看起来是这样的：最明显的特征是当s越来越接近0时，输出的大小变得越来越大，这是有道理的。小的实部意味着衰减较慢，而小的虚部意味着较少的抵消作用。
目前，我只绘制了输出的大小，但它当然包含更多信息：它也有方向。因此，如果我们将该输出的每个可能方向与一种独特的颜色相关联，那么我可以给图形着色，从而给我们提供更丰富的输出外观感觉。你可能已经注意到的另一件事是，这个图明显没有绘制在实部为负的s值上。想想这些值实际上意味着什么：当s的实部为负时，函数e^(-st)呈指数增长。
我们拥有的积分的螺旋求和会爆炸，它不收敛。所以这些值未定义，至少在目前是这样。我们很快就会提到一个复杂的概念。在边界上，事情变得有点有趣。如果s是纯虚数，值e^(-st)只是绕圈旋转，既不增长也不衰减。当我们玩这种在不同区间上平均并相加的游戏时，我们在右下角得到的向量求和只是无休止地螺旋旋转。
一方面，这也不收敛，没有特定的值可以趋近于它。然而，理解起来并不难。如果你让s的值获得一点点实部分量，那么我们的函数就会衰减，我们的螺旋求和确实会趋近于一个清晰具体的值。然后如果你慢慢去掉s的那个实部，让它趋近虚数轴，那么右下角的 resulting 积分明确地趋近于一个清晰值。
你可以在图中看到这一点，显然它想要取某个值。事实上，我可以精确地告诉你它想收敛到什么值。回想一下实数情况，我们看到积分等于1除以s。这是一个纯分析事实，即使当s是复数时也仍然成立。也许这是你预期的，但在更丰富的复数情况下这应该保持真理绝非显而易见。为了至少检查一个例子，我们刚才非常仔细地观察了当s趋近于虚数常数i时发生的情况。如果你专注于
观察右下角的情况，你会发现积分正在趋近于负虚数单位 i。事实上，1 除以 i 确实等于 -i。因此我们得到了一个美妙且令人欣慰的简单方程来描述我们的积分，但有趣的是，等式右边的 1/s 在复平面上几乎处处都有定义。我可以画出这个结果，它看起来就是这样。也许你会对 s=0 的情况感到疑惑，但在几乎其他地方，这都有明确的值。
需要澄清的是，积分本身在左半平面绝对不收敛，因此在该区域中，该方程严格来说是没有意义的。例如，考虑设 s 等于 -1。在右边，-1 的倒数是 -1，但我认为你会同意，从 0 到无穷大对 e^t 进行积分看起来绝对不像 -1。然而，这引出了复值函数的一个迷人方面，它与实值函数世界完全不同。这就是所谓的解析延拓。
这是一种概念，即这些超出收敛域范围的无意义值仍然可以反映出表达式在真正收敛时的有用含义。虽然接下来的内容 firmly 处于“超出你需要知道的”领域，就像开车不需要懂引擎原理一样，但这是一段美妙的数学，也是解释我为你绘制的图表的最后一块拼图。
思路如下：假设你有一个函数，它仅在有限的定义域内有定义。如果这是一个实值函数，而你希望扩展其定义以包含更大的域，那么你基本上有无限多种选择。即使你增加一些约束条件，比如你的函数是光滑的（即在每一点都有导数），并且你希望扩展后的函数也是光滑的，那么你仍然有无限多种选择。这有点像一根软塌塌的面条。
然而，复值函数受到的约束要多得多。如果你有一个仅在有限定义域内定义的函数（比如我们那个仅在半平面收敛的积分），并且该函数是“好”的（即具有明确定义的导数），然后你想以一种保持其“良好性质”的方式扩展函数，再次强调是指具有导数的意义下，那么有一个漂亮的小定理告诉我们两种情况之一会发生。
要么无法扩展它；如果有办法扩展，那么这种方法是唯一的。这非常令人惊讶。你可能认为你有无限的选择，但你没有。当这种扩展存在时，它有一个花哨的名字：我们称之为原函数的解析延拓。数学中一个非常强大的主题是，有时通过理解其完整的扩展版本可以发现关于函数的隐藏信息，特别是了解该完整扩展版本中的极点。
在我们研究拉普拉斯变换的背景下，相关性在于：定义此变换的实际积分通常仅在 s 的实部足够大时的半平面内收敛。然而，绘制和理解暴露函数所有极点的完整扩展版本可能非常有用。正如我 earlier 暗示的那样，极点揭示了我们要寻找的指数部分。
回顾我们一直关注的这个热身例子：e^(-st) 的积分，如我所说，它仅在 s 的实部为正时收敛。在该半平面上，它等于 1/s。1/s 处处有定义，并且是“好”的（即具有导数）。因此我们说这是积分的解析延拓。
这个函数是极点的纯粹例子。你说它在 s=0 上方有一个极点，对我所说的含义的一个稍微不那么含糊的定义是：在该点附近它看起来近似于除以 0。不难看出这个名字的由来。图表看起来有点像马戏团帐篷，在该点上方有一根柱子。
这实际上是一个非常有用的结果。我们现在花了这么多时间研究的这个积分，本质上是常数函数 1 的拉普拉斯变换。那个常数函数转换为 1/s，你应该在脑海中将其视为 s=0 上方的一个极点。这看起来可能是一个简单的例子，但几乎免费地，我们可以得出一个更普遍的结果：任何指数函数的变换看起来也像是一个简单的极点。它只是位于 s 平面上的另一个值上方。
这里，让我们花点时间仔细思考一下。如果我让你输入一个像 e^(1.5t) 这样的函数，会发生什么？那么积分内的表达式会结合，你得到 e^((1.5-s)t)，这与我们刚才看到的一切几乎完全相同，只是事物平移了 1.5。
如果你愿意，我可以调出同样的视觉图像，它分解并解释了右下角的积分，右上角显示了内部的函数，我们仍在玩着“求平均值总和”的游戏。但这张图中的任何东西都没有实质性的变化，本质上就是我们刚才看到的东西，唯一的区别是现在发生爆炸并出现极点的那个特殊值位于 s=1.5 而不是 s=0。
从符号上看，一点点的重排显示这个关键积分与我们刚才研究的几乎相同，唯一的区别是 s 被替换为 s-1.5。因此我们可以写在圆圈里的新结果是，我们指数函数的变换看起来像 1/(s-1.5)。当然，1.5 没有什么特别的，我可以将其替换为任何常数 a。
如果从这个视频中你只记住一个事实，那就让它成为这个：指数函数 e^(at) 的拉普拉斯变换是一个新的 s 函数，它在 s=a 上方有一个简单极点。这就是我 earlier 暗示的关键思想：变换函数中的极点了暴露了原函数的指数部分。
充实这一思想的最后一步，是说服自己这适用于组合情况。例如，让我们请回我们的老朋友余弦函数 cos(t)。在这里我们有两种研究选项：我们可以从符号上进行思考，然后为了好玩，让我们将其代入那个相同的视觉机器中看看它是什么样子的。
好的，从符号上讲，正如我们 earlier 讨论的那样，余弦可以分解为 0.5e^(it) + 0.5e^(-it)。从这里你可以做的是将这个外部表达式分解为两个不同的部分。一个看起来像是半个乘以……
变换 $e^{it}$ 的拉普拉斯变换，以及另一个看起来像 $\frac{1}{2} \times e^{-it}$ 的变换。用术语来说，你可以这样表述：拉普拉斯变换是线性的，这意味着如果内部有一个缩放的和式，你可以将每一项拆开，变成对应部分变换的相同缩放和。在我们的案例中，因为我们刚刚看到了如何对简单的指数函数进行变换，所以整个表达式可以简化为看起来像 $\frac{1}{s-i}$ 的形式。这是一个在 $i$ 处有一个简单极点的项。然后整个表达式可以简化为 $\frac{1}{s+i}$，这是一个在 $-i$ 处有一个极点的项。
所以当你阅读这个由两个分数相加组成的整个表达式时，脑海中浮现的图像应该是在 $i$ 和 $-i$ 上方有两个不同尖峰的图表。事实上，如果我们稍微找点乐子，尝试将表达式 $\cos(t)e^{-st}$ 代入我们构建的那个大型复数积分机器中，你确实会看到一个在 $i$ 和 $-i$ 上方有极点的图表。这一次，图表明显更加复杂，老实说，符号推理可能是理解最终答案的更简单方法。
但你和我都在这儿是为了找点乐子，不是吗？深入探究我们正在使用的机器的每一个活塞和阀门。所以让我们看看能不能花一两分钟来试着理解我们到底在看什么。再一次，在右上角，我显示的是积分内部的函数，即 $\cos(t)$ 乘以 $e^{-st}$。但现在它看起来更像是一团混乱的曲线。为了建立一点直觉，让我设 $s$ 为一个很小的纯虚数值，比如 $0.2i$。
在那个右上角的图表上，我会继续添加一个向量，仅显示 $e^{st}$ 部分。对于这样小的虚数 $s$ 值，它只是旋转得非常缓慢。在完整函数中，该项被乘以余弦函数，所以它所描绘的路径会来回振荡，给我们形成这种漂亮的花瓣图案。和以前一样，我们可视化积分的方式是在各种单位区间上取平均值，然后将它们相加，就像一个大的一头接一头的向量和。
在这种情况下，将这些向量相加的图表实际上相当不错。它看起来像是在一个小星形图案中绕圈转。严格来说，这并不收敛。在左侧绘制的是解析延拓。如果你希望它收敛，你可以给那个 $s$ 值增加一点点实部，这意味着随着时间趋向无穷大，函数会衰减一点。即使是一点点的衰减也足以导致右下角的这个和收敛到一个清晰、无歧义的值。
现在注意当我增加虚部时会发生什么，我们指数函数的频率越来越接近余弦函数的频率。你得到的是越来越多的对齐，导致总积分变大。事实上，当那个虚部为 $1$ 时，意味着指数的振荡与余弦的振荡完全对齐，那么它所描绘的路径就完全限制在平面的右侧。结果是积分有点像被抛向右边。
从那里开始，如果我减小 $s$ 的实部，意味着越来越少的衰减，那么积分就会无限接近于无穷大。这就是为什么我们在那个值上方看到一个极点的原因。顺便提一下，退一步说，对于任何观看过我多年前关于傅里叶变换视频的人来说，如果这一切看起来非常熟悉，那是因为它基本上是一样的。当 $s$ 是一个纯虚数时，拉普拉斯变换与傅里叶变换几乎完全相同。
表达式并不完全一样，我们积分的下限是零而不是负无穷大，并且关于指数中常数的约定各不相同，但本质上是相同的。现在这种傅里叶变换和拉普拉斯变换之间的关系将在我们下一章的故事中发挥更大的作用，但在这里我想快速强调一下，在某种意义上，这个拉普拉斯变换是一种推广。它的作用是探测一个函数与纯虚指数以及任何指数的对齐程度有多好。
现在，回顾一下我们对 $\cos(t)$ 的拉普拉斯变换的符号结果，如果你去查一查，比如在一本大的拉普拉斯变换表中，这实际上看起来并不一样。首先，通常且有用的是考虑一个更一般的余弦波，其内部具有任意的角频率 $\omega$。这里唯一的改变是，在你看到 $i$ 的地方，都用 $\omega i$ 替换它。所以你可以将最终表达式解读为告诉你存在位于 $\omega i$ 和 $-\omega i$ 的极点。
即便如此，这也不是你在表中会看到的内容。让我在这里自动运行一些代数运算来合并这两项。当尘埃落定后，你最终得到的是 $\frac{s}{s^2+\omega^2}$。现在这才是你会实际看到的表达式。事实上，我提到它的原因是我想要讨论这个例子的整个逻辑如何反向流动。想象一下，你事先并不知道余弦可以分解为两个指数的和，但你非常精通分部积分法。
我不会在这里详述细节，但你可以直接计算这里的等式， essentially 直接计算变换的定义。从那里，你可以使用一种被花哨地称为部分分式分解的过程，将这个分数拆分成两部分，清晰地暴露出位于 $\omega i$ 和 $-\omega i$ 的极点，同时也揭示那些系数为二分之一。这反过来足以告诉你潜伏在内部的指数部分是什么。这种逻辑流程实际上更反映了在实践中使用这个变换的感觉。
在此背景下，我们的下一步是让这台机器进行一次试驾，看看求解实际微分方程是什么样子的。现在我原本的计划是用一个工作示例来结束这个视频，但考虑到时间以及这毕竟是一个系列的一部分，最好给你机会站起来、伸展一下身体、反思一下所有内容。让我们把它放在后续的章节中吧。
本视频的关键要点是：当一个函数可以分解为指数部分时，拉普拉斯变换会暴露出这些部分是位于 $s$ 平面上方的极点。但我要让你知道，我们还没有完全理解其全部普遍性。大多数函数不能像这样表示为指数的离散和式。尽管如此，
变换提供了一种非常强大的方法，将更多函数表示为指数函数的组合。这仅仅是因为你是在一个连续范围内进行叠加，而不是在离散范围内。回到开车与学习发动机工作原理的类比中，存在第三个更深层的理解层面，那就是知道如何为自己制造一辆汽车。
在本系列的最后一章中，我想向你展示如何从零开始重新发明拉普拉斯变换，它如何与傅里叶变换及傅里叶逆变换相关联，以及如何针对超越这些离散指数和的更广泛函数族来思考它。我们那里见。